نموذج مواد ماكسويل

نموذج مواد ماكسويل هي موادة مرونية لزوجية تحوي خاصيتي المرونة و اللزوجة. ويسمى بإسم العالم جيمس ماكسويل الذي إقترح هذا النموذج عام 1867.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

 تعريف النموذج

نموذج مواد ماكسويل يصل الزنبرك (على اليمين) والنبيطة (على اليسار) بالتسلسل

يمكن تمثيله نموذج ماكسويل بنبيطة (Dashpot) لزج و زنبرك مَرِن موصولان بالتسلسل. وبهذه الصورة يصبح الإجهاد الإجمالي (Total stress) و الإنفعال الإجمالي (Total strain) كم يلي:

${\sigma _{Total}}={\sigma _{D}}={\sigma _{S}}$

${\epsilon _{Total}}={\epsilon _{D}}+{\epsilon _{S}}$

حيث أن:

• ${\sigma _{Total}}$ الإجهاد الإجمالي (Total stress)

• ${\sigma _{D}}$ إجهاد النبيطة (Dashpot stress)

• ${\sigma _{S}}$ إجهاد الزنبرك (Spring stress)

• ${\epsilon _{Total}}$ الإنفعال الإجمالي (Total strain)

• ${\epsilon _{D}}$ إنفعال النبيطة (Dashpot strain)

• ${\epsilon _{S}}$ إنفعال الزنبرك (Spring strain)

وبإشتقاق الإنفعال الإجمالي بالنسبة للوقت تصبح معادلة الإنفعال:

${\frac {d\epsilon _{Total}}{dt}}={\frac {d\epsilon _{D}}{dt}}+{\frac {d\epsilon _{S}}{dt}}$

وبإشتقاق معادلت الزنبرك بالنسبة للوقت:

${\sigma _{S}}=E*\epsilon _{S}$

${\frac {d\sigma _{S}}{dt}}=E*{\frac {d\epsilon _{S}}{dt}}$

${\frac {d\epsilon _{S}}{dt}}={\frac {1}{E}}*{\frac {d\sigma _{S}}{dt}}$

وبتحويل معادلتي النبيطة:

${\sigma _{D}}={\eta }*{\frac {d\epsilon _{D}}{dt}}$

${\frac {d\epsilon _{D}}{dt}}={\frac {1}{\eta }}*{\sigma _{D}}$

وبتعويضهما في الإشتقاق الأول:

${\frac {d\epsilon _{Total}}{dt}}={\frac {1}{\eta }}*{\sigma _{D}}+{\frac {1}{E}}*{\frac {d\sigma _{S}}{dt}}={\frac {1}{\eta }}*{\sigma _{Total}}+{\frac {1}{E}}*{\frac {d\sigma _{Total}}{dt}}$

وتصبح معادلة تغير الإجهاد و الإنفعال بالنسبة للوقت لنموذج مواد ماكسويل:

${\frac {1}{E}}{\frac {d\sigma }{dt}}+{\frac {\sigma }{\eta }}={\frac {d\epsilon }{dt}}$

أو بأسلوب النقطة:

${\frac {\dot {\sigma }}{E}}+{\frac {\sigma }{\eta }}={\dot {\epsilon }}$

 اقرأ أيضا

• النموذج القياسي الخطي الصلبة
• نموذج مواد كلفن فويغت