نموذج مواد ماكسويل

نموذج مواد ماكسويل هي موادة مرونية لزوجية تحوي خاصيتي المرونة و اللزوجة. ويسمى بإسم العالم جيمس ماكسويل الذي إقترح هذا النموذج عام 1867.

 تعريف النموذج

نموذج مواد ماكسويل يصل الزنبرك (على اليمين) والنبيطة (على اليسار) بالتسلسل

يمكن تمثيله نموذج ماكسويل بنبيطة (Dashpot) لزج و زنبرك مَرِن موصولان بالتسلسل. وبهذه الصورة يصبح الإجهاد الإجمالي (Total stress) و الإنفعال الإجمالي (Total strain) كم يلي:

${\displaystyle{\displaystyle{\sigma_{Total}}={\sigma_{D}}={\sigma_{S}}}}$

${\displaystyle{\displaystyle{\epsilon_{Total}}={\epsilon_{D}}+{\epsilon_{S}}}}$

حيث أن:

• ${\displaystyle{\displaystyle{\sigma_{Total}}}}$ الإجهاد الإجمالي (Total stress)

• ${\displaystyle{\displaystyle{\sigma_{D}}}}$ إجهاد النبيطة (Dashpot stress)

• ${\displaystyle{\displaystyle{\sigma_{S}}}}$ إجهاد الزنبرك (Spring stress)

• ${\displaystyle{\displaystyle{\epsilon_{Total}}}}$ الإنفعال الإجمالي (Total strain)

• ${\displaystyle{\displaystyle{\epsilon_{D}}}}$ إنفعال النبيطة (Dashpot strain)

• ${\displaystyle{\displaystyle{\epsilon_{S}}}}$ إنفعال الزنبرك (Spring strain)

وبإشتقاق الإنفعال الإجمالي بالنسبة للوقت تصبح معادلة الإنفعال:

${\displaystyle{\displaystyle{\frac{d\epsilon_{Total}}{dt}}={\frac{d\epsilon_{D}}{dt}}+{\frac{d\epsilon_{S}}{dt}}}}$

وبإشتقاق معادلت الزنبرك بالنسبة للوقت:

${\displaystyle{\displaystyle{\sigma_{S}}=E*\epsilon_{S}}}$

${\displaystyle{\displaystyle{\frac{d\sigma_{S}}{dt}}=E*{\frac{d\epsilon_{S}}{dt}}}}$

${\displaystyle{\displaystyle{\frac{d\epsilon_{S}}{dt}}={\frac{1}{E}}*{\frac{d\sigma_{S}}{dt}}}}$

وبتحويل معادلتي النبيطة:

${\displaystyle{\displaystyle{\sigma_{D}}={\eta}*{\frac{d\epsilon_{D}}{dt}}}}$

${\displaystyle{\displaystyle{\frac{d\epsilon_{D}}{dt}}={\frac{1}{\eta}}*{\sigma_{D}}}}$

وبتعويضهما في الإشتقاق الأول:

${\displaystyle{\displaystyle{\frac{d\epsilon_{Total}}{dt}}={\frac{1}{\eta}}*{\sigma_{D}}+{\frac{1}{E}}*{\frac{d\sigma_{S}}{dt}}={\frac{1}{\eta}}*{\sigma_{Total}}+{\frac{1}{E}}*{\frac{d\sigma_{Total}}{dt}}}}$

وتصبح معادلة تغير الإجهاد و الإنفعال بالنسبة للوقت لنموذج مواد ماكسويل:

${\displaystyle{\displaystyle{\frac{1}{E}}{\frac{d\sigma}{dt}}+{\frac{\sigma}{\eta}}={\frac{d\epsilon}{dt}}}}$

أو بأسلوب النقطة:

${\displaystyle{\displaystyle{\frac{\dot{\sigma}}{E}}+{\frac{\sigma}{\eta}}={\dot{\epsilon}}}}$

 اقرأ أيضا

• النموذج القياسي الخطي الصلبة
• نموذج مواد كلفن فويغت