هـ (ثابت رياضي)

Functions f(x) = a^x are shown for several values of a. e is the unique value of a, such that the derivative of f(x) = a^x at the point x = 0 is equal to 1. The blue curve illustrates this case, e^x. For comparison, functions 2^x (dotted curve) and 4^x (dashed curve) are shown; they are not tangent to the line of slope 1 and y-intercept 1 (red).

الثابت الرياضي e هو أساس دالة اللوغاريتم الطبيعي وقيمته إلى الرقم العشري التاسع والعشرين هي:

e = 2.71828 18284 59045 23536 02874 7135...

يمكن حساب قيمته من خلال السلسة الأتية $/sumx^{n}/n!$

جزء من سلسلة مقالات عن الثابت الرياضي، e لوغاريتم طبيعي التطبيقات في: الفائدة المركبة • متطابقة اويلر وصيغة اويلر  • نصف العمر والنمو/الانحلال الأسي تعريف e: إثبات أن e غير كسرية  • تمثيلات e • مبرهنة ليندمان–ڤايرشتراس شخصيات جون ناپييه  • ليونهارد اويلر حدسية شانويل

ويسمى أيضاً عدد أيلر إضافة إلى العالم ليونهرت أيلر، ويقال له العدد النيبيري نسبة إلى عالم الرياضيات الإسكتلندي جون نيبير. هو عدد حقيقي غير نسبي يساوي تقريبا = 2.72، ويوجد للعدد النيبيري أهمية كبيرة في الرياضيات والعلوم، وقد فتح الباب لحل المعادلات التفاضلية وخصوصا الخطية والحقيقة أنه بالتالي قد قدم إجابات عن عدد من المسائل الفيزيائية والهندسية لا حدود لها و خصوصاً عند تعميم مجال استخدام الدالة في حقل الأعداد المركبة (الأعداد العقدية) فيكون هكذا حل الكثير من المسائل حلولاً ينتج عنها الدالة الجيبية أو التجيبية على حد سواء.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

 التطبيقات

The effect of earning 20% annual interest on an initial $1,000 investment at various compounding frequencies

 الثابت هـ في التفاضل والتكامل

The natural log at e, ln(e), is equal to 1

 خصائص بديلة

The area between the x-axis and the graph y = 1/x, between x = 1 and x = e is 1.

انظر أيضاً: تمثيل الثابت هـ

 الخصائص

 التفاضل والتكامل

${\frac {d}{dx}}e^{x}=e^{x}$

and therefore its own antiderivative as well:

${\begin{aligned}e^{x}&=\int _{-\infty }^{x}e^{t}\,dt\\[8pt]&=\int _{-\infty }^{0}e^{t}\,dt+\int _{0}^{x}e^{t}\,dt\\[8pt]&=1+\int _{0}^{x}e^{t}\,dt.\end{aligned}}$

 وظائف شبه أسية

The global maximum of ${\sqrt[{x}]{x}}$ occurs at x = e.

The global maximum for the function

$f(x)={\sqrt[{x}]{x}}$

occurs at x = e. Similarly, x = 1/e is where the global minimum occurs for the function

$f(x)=x^{x}\,$

defined for positive x. More generally, x = e^−1/n is where the global minimum occurs for the function

$\!\ f(x)=x^{x^{n}}$

for any n > 0. The infinite tetration

$x^{x^{x^{\cdot ^{\cdot ^{\cdot }}}}}$ or ^∞$x$

converges if and only if e^−e ≤ x ≤ e^1/e (or approximately between 0.0660 and 1.4447), due to a theorem of ليونهارد اويلر.

 الأرقام المركبة

The exponential function e^x may be written as a Taylor series

$e^{x}=1+{x \over 1!}+{x^{2} \over 2!}+{x^{3} \over 3!}+\cdots =\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {x^{n}}{n!}}$

$e^{ix}=\cos x+i\sin x,\,\!$

which holds for all x. The special case with x = π is Euler's identity:

$e^{i\pi }=-1\,\!$

from which it follows that, in the principal branch of the logarithm,

$\log _{e}(-1)=i\pi .\,\!$

Furthermore, using the laws for exponentiation,

$(\cos x+i\sin x)^{n}=\left(e^{ix}\right)^{n}=e^{inx}=\cos(nx)+i\sin(nx),$

which is de Moivre's formula.

The expression

$\cos(x)+i\sin(x)\,$

is sometimes referred to as cis(x).

 المعادلات التفضايلية

$y(x)=Ce^{x}\,$

$y'=y.\,$

 التمثيلات

المقالة الرئيسية: تمثيل الثابت هـ

$\lim _{n\to \infty }\left(1+{\frac {1}{n}}\right)^{n},$

given above, as well as the series

$e=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {1}{n!}}$

given by evaluating the above power series for e^x at x = 1.

$e=\lim _{n\to \infty }[2;1,\mathbf {2} ,1,1,\mathbf {4} ,1,1,\mathbf {6} ,1,1,\mathbf {8} ,1,1,...,\mathbf {2n} ,1,1]=[1;\mathbf {0} ,1,1,\mathbf {2} ,1,1,\mathbf {4} ,1,1,...]$

which written out looks like

$2+{\cfrac {1}{1+{\cfrac {1}{\mathbf {2} +{\cfrac {1}{1+{\cfrac {1}{1+{\cfrac {1}{\mathbf {4} +{\cfrac {1}{1+{\cfrac {1}{1+\ddots }}}}}}}}}}}}}}=1+{\cfrac {1}{\mathbf {0} +{\cfrac {1}{1+{\cfrac {1}{1+{\cfrac {1}{\mathbf {2} +{\cfrac {1}{1+{\cfrac {1}{1+{\cfrac {1}{\mathbf {4} +{\cfrac {1}{1+{\cfrac {1}{1+\ddots }}}}}}}}}}}}}}}}}}$

 مؤشر ستوكاستيك

$V=\min {\left\{n\mid X_{1}+X_{2}+\cdots +X_{n}>1\right\}}.$

 الأرقام المعلومة

Number of known decimal digits of e

Date	Decimal digits	Computation performed by
1748	23	ليونهارد اويلر
1853	137	William Shanks
1871	205	William Shanks
1884	346	J. Marcus Boorman
1949	2,010	جون فون نيومان (on the ENIAC)
1961	100,265	Daniel Shanks and John Wrench
1978	116,000	Stephen Gary Wozniak (on the Apple II)
1994 April 1	1,000,000	Robert Nemiroff & Jerry Bonnell
1999 November 21	1,250,000,000	Xavier Gourdon
2000 July 16	3,221,225,472	Colin Martin & Xavier Gourdon
2003 September 18	50,100,000,000	Shigeru Kondo & Xavier Gourdon
2007 April 27	100,000,000,000	Shigeru Kondo & Steve Pagliarulo
2009 May 6	200,000,000,000	Shigeru Kondo & Steve Pagliarulo
2010 July 5	1,000,000,000,000	Shigeru Kondo & Alexander J. Yee

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

 قراءات إضافية

• Maor, Eli; e: The Story of a Number, ISBN 0-691-05854-7
• Commentary on Endnote 10 of the book Prime Obsession for another stochastic representation

 وصلات خارجية

• An Intuitive Guide To Exponential Functions &e for the non-mathematician
• The number e to 1 million places and 2 and 5 million places
• e Approximations – Wolfram MathWorld
• Earliest Uses of Symbols for Constants
• "The story of e", by Robin Wilson at Gresham College, 28 February 2007 (available for audio and video download)
• e Search Engine 2 billion searchable digits of e, π and √2