نواس توافقي

إنّ مسألة الهزّاز التوافقي الخطي من المسائل الرّئيسيّة في ميكانيكا الكم ، وله نطبيقاتٌ كثيرةٌ إذ يشبه في ميكانيكا الكم حركة جسيم حول وضع التوازن بإهتزازات بسيطة صغيرة على شكل هزّاز توافقي خطي. من الإهتزازات الصّغيرة مثلا ً إهتزازات الذ َّرّات في الجزيئ أو إهتزازات الذ ّرّات في الشبكة البلّوريّة بفعل درجة الحرارة. تشترط ميكانيكا الكم لحدوث الحركة التوافقية البسيطة لجسم ما أن يكون الجسم هذا خاضعا ًلقانون نيوتن الثاني وأن تكون قوي الاحتكاك المؤثرة على الجسم معدومة ، ويجبُ أن يخضعَ الجسم لتأثير قوَّة مرنة من النوع:

F=-kx=-mw^2 x حيثُ: m السرعة الزّاويّة

التسارع       -w^2 x  

تعطى الطاقة الكامنة للهزّاز التوافقي الخطي وفقا للقانون الثاني بالشكل: U(x)=-∫_0^x▒〖F.dx〗=+(mw^2 x^2)/2 يوضٍّح الشكل (1) تغيرات الطاقة الكامنة مع الانزياح

و بالتالي فإن صيغة معادلة شرودنجر للهزّاز التوافقي تـُعطى بالعلاقة: -ℏ^2/2m∙(∂^2 x)/(∂x^2 )+〖mw〗^2/2 x^2 Ψ=EΨ وهذه المعادلة يمكن كتابتها بالشكل التالي: (∂^2 Ψ)/〖∂x〗^2 +2m/ℏ^2 (E-(mω^2 x^2)/2)Ψ=0 إنّ الاختلاف المهم بين معادلة حركة الهزّاز التوافقي ومعادلة شرودنجر لحركة جسيم في حفرة كمومية يكمن في أنّه لايوجد هنا جدران تحد من الحركة ، ولذلك ليس للهزّاز التوافقي شروط حديّة . إنّ للمعادلة السابقة حلا ً عند قيم معيّنة ﻟ(E) ، ومجموع هذه القيم تـُسمى القيم الخاصّة لهذه المعادلة. يحتاج حل المعادلة التفاضلية السابقة إلى معرفة جيدة بالرياضيات الخاصّة بالمعادلات التفاضليّة ولذلك نكتفي هنا بإعطاء نتيجة الحلِّ ، حيث أنّ الطاقة كمومية وتُعطى بالعلاقة: E_(n=) (n+1/2)ℏω ∴n=0,1,2,3………………… ومن هذه العلاقة نرى أنّ طاقة الهزّاز التوافقي هي طاقة كموية ولها قيم منفصلة

  ، والخطوة في طيف الطاقة هي (ħω) 

ونلاحظ أنّه عندما تكون 0=n ، يأخذ الهزّاز أدنى طاقة كمومية الحالة الأرضية له، وهي : E_0=1/2 . ħω

الأربعة الأولى تعطى بالعلاقات (Ψ_n (x ، وتكون التوابع الموجيّة :

Ψ_0 (x)=√((b/√x) )∙e^(- ( b^2 x^2)/2) Ψ_1 (x)=√((b/(2√x)) )∙2bxe^(- ( b^2 x^2)/2) Ψ_2 (x)=√((b/(8√x)) )∙(4b^2 x^2-2)e^(- ( b^2 x^2)/2) Ψ_3 (x)=√((b/(48√x)) )∙(8b^2 x^2-2bx)e^(- ( b^2 x^2)/2) حيث: b=√(mw/ℏ)

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .