نظام إحداثيات قطبية

الإحداثيات الكروية أو القطبية، وهي نبين موقع نقطة P وإحداثياتها الثلاث ρ,θ and φ.

النظام الإحداثي القطبي (إنگليزية: polar coordinate system) في الرياضيات والفيزياء هو مجموعة متغيرات تمكننا من معرفة مكان نقطة ما في الفضاء الثلاثي الأبعاد. وعلى عكس الإحداثيات الديكارتية الذي يستعمل ثلاثة أبعاد (س، ص، ع) لتحديد مقوع نقطة في الفراغ، يستعمل نطام الإحداثي الكروي أو القطبي نصف القطر ρ وزاوية المسقط على الدائرة الإستوائية θ وزاوية المسقط على الدائرة القطبية φ .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

 تحويل الإحداثيات الكروية إلى إحداثيات خطية ثلاثية

يمكن تحويل الإحداثيات الكروية إلى الإحداثيات الخطية الثلاثية بواسطة عمليات رياضية بسيطة. (أنظر تباين). بعض المسائل في الطبيعة تسهل حلها باستعمال الإحداثيات الخطية، وبعض المسائل يسهل حلها باستخدام الإحداثيات الكروية، مثل انتشار الأشعة حول مصباح أو انتشار الأشعه حول الشمس.

وتذكر الدوامات في المياه، فهذه حالة خاصة من الإحداثيات الكروية وتسمي الإحداثيات الدائرية ، وهي تعمل بمعرفة نصف القطر ρ وزاوية واحدة θ.

كما نستعمل في حياتنا اليومية لتحديد موقع مدينة على سطح الكرة الأرضية خط الطول وخط العرض. أي مقياسان اثنان يلزمنان لذلك، وهذا صحيح طالما كان نصف القطر للكرة الأرضية ثابت.

أردنا بذلك أن نوضح لماذا توجد أنظمة مختلفة، ويكمن السر في اختيار النطام المناسب ،وإلا تهنا في متاهات التحويلات الرياضية.

إذا أردت معرفة مدار المحطة الفضائية الدولية فلا شك أنك ستختار لذلك النظام الإحداثي القطبي .

 المعادلة القطبية لمنحنى

 الدائرة

A circle with equation r(θ) = 1

The general equation for a circle with a center at (r₀, $\varphi$) and radius a is

$r^{2}-2rr_{0}\cos(\theta -\varphi )+r_{0}^{2}=a^{2}.\,$

This can be simplified in various ways, to conform to more specific cases, such as the equation

$r(\theta )=a\,$

for a circle with a center at the pole and radius a.

 الخط

A polar rose with equation r(θ) = 2 sin 4θ

Radial lines (those running through the pole) are represented by the equation

$\theta =\varphi \,$,

where φ is the angle of elevation of the line; that is, φ = arctan m where m is the slope of the line in the Cartesian coordinate system. The non-radial line that crosses the radial line θ = φ perpendicularly at the point (r₀, φ) has the equation

$r(\theta )={r_{0}}\sec(\theta -\varphi ).\,$

 لولب أرخميدس

One arm of an Archimedean spiral with equation r(θ) = θ for 0 < θ < 6π

The Archimedean spiral is a famous spiral that was discovered by Archimedes, which also can be expressed as a simple polar equation. It is represented by the equation

$r(\theta )=a+b\theta .\,$

 قطاعات قمعية

Ellipse, showing semi-latus rectum

A conic section with one focus on the pole and the other somewhere on the 0° ray (so that the conic's major axis lies along the polar axis) is given by:

$r={\ell \over {1+e\cos \theta }}$

 Complex numbers

An illustration of a complex number z plotted on the complex plane

An illustration of a complex number plotted on the complex plane using Euler's formula

• الضرب:

$r_{0}e^{i\theta _{0}}\cdot r_{1}e^{i\theta _{1}}=r_{0}r_{1}e^{i(\theta _{0}+\theta _{1})}\,$

• Division:

${\frac {r_{0}e^{i\theta _{0}}}{r_{1}e^{i\theta _{1}}}}={\frac {r_{0}}{r_{1}}}e^{i(\theta _{0}-\theta _{1})}\,$

• Exponentiation (De Moivre's formula):

$(re^{i\theta })^{n}=r^{n}e^{in\theta }\,$

 الحسبان

 الحسبان التفاضلي

Using x = r cos(θ) and y = r sin(θ), one can derive a relationship between derivatives in Cartesian and polar coordinates. For a given function, u(x,y), it follows that

$r{\tfrac {\partial u}{\partial r}}=r{\tfrac {\partial u}{\partial x}}{\tfrac {\partial x}{\partial r}}+r{\tfrac {\partial u}{\partial y}}{\tfrac {\partial y}{\partial r}},$

${\tfrac {\partial u}{\partial \theta }}={\tfrac {\partial u}{\partial x}}{\tfrac {\partial x}{\partial \theta }}+{\tfrac {\partial u}{\partial y}}{\tfrac {\partial y}{\partial \theta }},$

or

$r{\tfrac {\partial u}{\partial r}}=r{\tfrac {\partial u}{\partial x}}\cos(\theta )+r{\tfrac {\partial u}{\partial y}}\sin(\theta )=x{\tfrac {\partial u}{\partial x}}+y{\tfrac {\partial u}{\partial y}},$

${\tfrac {\partial u}{\partial \theta }}=-{\tfrac {\partial u}{\partial x}}r\sin(\theta )+{\tfrac {\partial u}{\partial y}}r\cos(\theta )=-y{\tfrac {\partial u}{\partial x}}+x{\tfrac {\partial u}{\partial y}}.$

Hence, we have the following formulae:

$r{\tfrac {\partial }{\partial r}}=x{\tfrac {\partial }{\partial x}}+y{\tfrac {\partial }{\partial y}}\,$

${\tfrac {\partial }{\partial \theta }}=-y{\tfrac {\partial }{\partial x}}+x{\tfrac {\partial }{\partial y}}.$

To find the Cartesian slope of the tangent line to a polar curve r(θ) at any given point, the curve is first expressed as a system of parametric equations.

$x=r(\theta )\cos \theta \,$

$y=r(\theta )\sin \theta \,$

Differentiating both equations with respect to θ yields

${\frac {dx}{d\theta }}=r'(\theta )\cos \theta -r(\theta )\sin \theta \,$

${\frac {dy}{d\theta }}=r'(\theta )\sin \theta +r(\theta )\cos \theta .\,$

Dividing the second equation by the first yields the Cartesian slope of the tangent line to the curve at the point (r, r(θ)):

${\frac {dy}{dx}}={\frac {r'(\theta )\sin \theta +r(\theta )\cos \theta }{r'(\theta )\cos \theta -r(\theta )\sin \theta }}.$

 حسبان المتجهات

حسبان المتجهات can also be applied to polar coordinates. For a planar motion, let $\mathbf {r}$ be the position vector (rcos(θ), rsin(θ)), with r and θ depending on time t.

We define the unit vectors

${\hat {\mathbf {r} }}=(\cos(\theta ),\sin(\theta ))$

in the direction of r and

${\hat {\boldsymbol {\theta }}}=(-\sin(\theta ),\cos(\theta ))={\hat {\mathbf {k} }}\times {\hat {\mathbf {r} }}\ ,$

in the plane of the motion perpendicular to the radial direction, where ${\hat {\mathbf {k} }}$ is a unit vector normal to the plane of the motion.

Then

$\mathbf {r} =(x,\ y)=r(\cos \theta ,\ \sin \theta )=r{\hat {\mathbf {r} }}\ ,$

${\dot {\mathbf {r} }}=({\dot {x}},\ {\dot {y}})={\dot {r}}(\cos \theta ,\ \sin \theta )+r{\dot {\theta }}(-\sin \theta ,\ \cos \theta )={\dot {r}}{\hat {\mathbf {r} }}+r{\dot {\theta }}{\hat {\boldsymbol {\theta }}}\ ,$

${\ddot {\mathbf {r} }}=({\ddot {x}},\ {\ddot {y}})={\ddot {r}}(\cos \theta ,\ \sin \theta )+2{\dot {r}}{\dot {\theta }}(-\sin \theta ,\ \cos \theta )+r{\ddot {\theta }}(-\sin \theta ,\ \cos \theta )-r{\dot {\theta }}^{2}(\cos \theta ,\ \sin \theta )\ =$

$\left({\ddot {r}}-r{\dot {\theta }}^{2}\right){\hat {\mathbf {r} }}+\left(2{\dot {r}}{\dot {\theta }}+r{\ddot {\theta }}\right){\hat {\boldsymbol {\theta }}}\ =({\ddot {r}}-r{\dot {\theta }}^{2}){\hat {\mathbf {r} }}+{\frac {1}{r}}\;{\frac {d}{dt}}\left(r^{2}{\dot {\theta }}\right){\hat {\boldsymbol {\theta }}}=({\ddot {r}}-r{\dot {\theta }}^{2}){\hat {\mathbf {r} }}+{\frac {1}{r}}\;{\dot {h}}{\hat {\boldsymbol {\theta }}}$

where h is the specific angular momentum.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

 Centrifugal and Coriolis terms

Inertial frame of reference S and instantaneous non-inertial co-rotating frame of reference S′. The co-rotating frame rotates at angular rate Ω equal to the rate of rotation of the particle about the origin of S′ at the particular moment t. Particle is located at vector position r(t) and unit vectors are shown in the radial direction to the particle from the origin, and also in the direction of increasing angle θ normal to the radial direction. These unit vectors need not be related to the tangent and normal to the path. Also, the radial distance r need not be related to the radius of curvature of the path.

 انظر أيضا

• نظام إحداثي
• نظام إحداثي ديكارتي
• إحداثيات