متعدد حدود لاگرانج

هذه الصورة تظهر استيفاء كثير الحدود التكعيبي L(x) لأربع نقاط ((−9, 5), (−4, 2), (−1, −2), (7, 9))، وهو مجموع كثيرات الحدود الأساسية y₀ℓ₀(x), y₁ℓ₁(x), y₂ℓ₂(x) و y₃ℓ₃(x). استيفاء كثير الحدود يمر خلال جميع نقاط التحكم الأربعة، وكل كثير حدود أساسي يمر خلال نقطة التحكم الخاصة به ويكون صفرًا عندما x متعلقة بنقاط التحكم الثلاثة الأخرى

كثير حدود لاگرانج أو متعدد حدود لاگرانج إنگليزية: Lagrange polynomial: في التحليل العددي، هو استيفاء كثير الحدود لمجموعة محددة من النقاط بطريقة لاگرانج. وبالرغم من نسبتها إلى جوزيف لوي لاگرانج الذي كان أول من نشرها في 1795، إلا أن من اكتشفها أولا كان إدوارد وارنگ في عام 1779، وكانت عاقبة مبكرة لصيغة نشرها ليونهارد أويلر في عام 1783.

بما أنه لايوجد إلا استيفاء واحد لكثير الحدود لمجموعة من النقاط، فمن الخطأ تسمية كثير الحدود باستيفاء لاگرانج لكثير الحدود (Lagrange interpolation polynomial). يجب أن يكون الاسم الأدق هو استيفاء كثير الحدود بطريقة لاگرانج (interpolation polynomial in the Lagrange form).

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

 تعريف

افترض أن لدينا مجموعة k + 1 من النقاط.

$(x_{0},y_{0}),\ldots ,(x_{k},y_{k})$

حيث لا تتساوى أي x_j لأي نقطتين، فيكون استيفاء كثير الحدود بطريقة لاگرانج هو التركيبة الخطية

$L(x):=\sum _{j=0}^{k}y_{j}\ell _{j}(x)$

لكثيرات حدود لاگرانج الأساسية

$\ell _{j}(x):=\prod _{i=0,\,i\neq j}^{k}{\frac {x-x_{i}}{x_{j}-x_{i}}}={\frac {(x-x_{0})}{(x_{j}-x_{0})}}\cdots {\frac {(x-x_{j-1})}{(x_{j}-x_{j-1})}}{\frac {(x-x_{j+1})}{(x_{j}-x_{j+1})}}\cdots {\frac {(x-x_{k})}{(x_{j}-x_{k})}}.$

 انظر أيضاً

• Neville's algorithm
• Newton form of the interpolation polynomial
• Bernstein form of the interpolation polynomial
• Carlson's theorem
• Lebesgue constant (interpolation)
• The Chebfun system
• Table of Newtonian series
• Frobenius covariant
• Sylvester's formula