مبرهنة پيانو للوجود

في الرياضيات، وبالتحديد في دراسة المعادلات التفاضلية العادية, مبرهنة الوجود لبيانو أو مبرهنة بيانو أو مبرهنة كوشي-بيانو، المسماة هكذا نسبة إلى كل من جيوسيبي بيانو و أوگوستان لوي كوشي، هي مبرهنة أساسية تضمن وجود حلول لمشاكل القيمة الابتدائية.

 التاريخ

نشر پيانو المبرهنة لأول مرة في 1886 ببرهان غير كامل. وفي 1890 نشر برهان صحيح جديد باستخدام تقريبات متتابعة.

 المبرهنة

افترض D هي الفئة الجزئية المفتوحة R × R بحيث

${\displaystyle{\displaystyle f\colon D\to\mathbb{R}}}$

دالة متصلة و

${\displaystyle{\displaystyle y^{\prime}(x)=f\left(x,y(x)\right)}}$

a continuous, explicit first-order differential equation defined on D, then every initial value problem

${\displaystyle{\displaystyle y\left(x_{0}\right)=y_{0}}}$

for f with ${\displaystyle{\displaystyle(x_{0},y_{0})\in D}}$ has a local solution

${\displaystyle{\displaystyle z\colon I\to\mathbb{R}}}$

where ${\displaystyle{\displaystyle I}}$ is a neighbourhood of ${\displaystyle{\displaystyle x_{0}}}$ in ${\displaystyle{\displaystyle\mathbb{R}}}$, such that ${\displaystyle{\displaystyle z^{\prime}(x)=f\left(x,z(x)\right)}}$ for all ${\displaystyle{\displaystyle x\in I}}$.

The solution need not be unique: one and the same initial value (x₀,y₀) may give rise to many different solutions z.