مبرهنة ليوفيل

مبرهنة ليوفيل liouville s theorem مبرهنة رياضياتية للعالم و الرياضياتي الفرنسي جوزيف ليوفيل و هي مبرهنة رياضية تعطي معادلة تربط بين تطور حجم volume مجموعة نقاط مبدئية (initial condition) لنظام معين (system) في الزمن و هذا الحجم.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

 الحجم في فضاء يتجاوز بعده 3

لنفرض أنه لدينا مجموعة نقاط $X$ حجم هذه المجموعة في فضاء بعده n يمكن فهمه على أنه دالة نسميها $\rho$ من ال $R^{n}\rightarrow R$ و هي دالة تنسب لكل مجموعة من حجمها. و من البديهي أنه على هذه الدالة أن تكون موجبة دائما حيث أنه لا وجود لحجم سالب. و بهذا يكون حجم المجموعة $X$:

$Vol_{\rho }\left(X\right)=\int _{X}\rho (x)dx$

 مبرهنة ليوفيل

فلنفرض أنه لدينا النظام التالي:

${\dot {x}}=f(x)$

و مجموعة من النقاط البدئية $X$ يمكن أن ننسب لها حجما

$Vol_{\rho }\left(X\right)$

و إذا فرضنا أن $\varphi _{t}\left(X\right)$ هي مجموعة حلول النظام the set of the flows فإن مبرهنة ليوفيل تقول ما يلي:

$\left.{\frac {\partial }{\partial t}}Vol_{\rho }\left(\varphi _{t}\left(X\right)\right)\right|_{t=0}=Vol_{div\left(\rho f\right)}\left(X\right)$

حيث $div=\nabla$

هذه المقالة عبارة عن بذرة تحتاج للنمو والتحسين؛ فساهم في إثرائها بالمشاركة في تحريرها.