مبرهنة أپيري

في الرياضيات، مبرهنة أپيري Apéry's theorem هي نتيجة في نظرية الأعداد تقول أن ثابت أپيري ζ(3) يكون عدد لا كسري. أي أن العدد

$\zeta (3)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{3}}}={\frac {1}{1^{3}}}+{\frac {1}{2^{3}}}+{\frac {1}{3^{3}}}+\ldots =1.2020569\ldots$

لا يمكن كتابته ككسر p/q حيث p و q رقمان صحيحان.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

 التاريخ

أثبت اويلر في القرن 18 أنه إذا كانت n عدداً صحيحاً موجباً فإنه يكون لدينا

${\frac {1}{1^{2n}}}+{\frac {1}{2^{2n}}}+{\frac {1}{3^{2n}}}+{\frac {1}{4^{2n}}}+\ldots ={\frac {p}{q}}\pi ^{2n}$

لبعض الأعداد الكسرية p/q. وبالتحديد، فإن كتابة المتسلسلة اللانهائية إلى اليسار في صيغة ζ(2n) فقد بيـَّن

$\zeta (2n)=(-1)^{n+1}{\frac {B_{2n}(2\pi )^{2n}}{2(2n)!}}$

حيث B_n هي أعداد برنولي كسرية. وبمجرد اثبات لمرة واحدة أن πⁿ هي دوماً لا كسرية، فإن ذلك يبيـِّن أن ζ(2n) هي غير كسرية لكل الأعداد الصحيحة الموجبة n.