لوغاريتم

The graph of the logarithm to base 2 crosses the x axis (horizontal axis) at 1 and passes through the points with coordinates (2, 1), (4, 2), and (8, 3). For example, log₂(8) = 3, because 2³ = 8. The graph gets arbitrarily close to the y axis, but does not meet or intersect it.

تمثيل اللوغاريتمات، فاللون الاحمر هو قاعدة (e) واللون الاخصر، هو قاعدة الرقم 10، واللون الارجواني هو قاعدة 1.7، لاحظ أن جميع المنحنيات قطعت النقطة (1، 0).

في علوم الجبر اللوغريتمات logarithm، هي الأدلة أو الأسس، ويستعمل الأس للتعبير عن رقم مضروب عدة مرات، على سبيل المثال: 5×5×5= 5³ = 125، فالرقم 3 هو الأس أما الرقم 5 فهو الأساس، ويمكن التعبير عن هذه المعادلة بطريقة اللوغريتمات: 3 لوغريتم 125 للأساس 5، أو باختصار لو 125₅ = 3.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

تاريخ اللغوريتمات

جون ناپيير (1550–1617)، مخترع اللوغاريتمات

يعود الفضل في علم اللوغاريتمات إلى كل من العالمين جون ناپيه وسابقه جوست بيرگي أما أصلها فمن اليونانية: Logos (سبب أو نسبة) + artihmus (عدد). البعض يلبس بين عبارتي لوغاريتم وألگوريذم اعتقاداً أن كليهما من أعمال الخوارزمي. التعبير الأخير هو اللفظ الإنكليزي المأخوذ من العربية (الخوارزم) وهو مشتق من اسم الخوارزمي تقديراً لما أنجزه من أعمال في هذا المجال.

اللغوريتمات قديما

شرح اللوغاريتمات في نسخة 1797 من دائرة المعارف البريطانية

اقترح جون ناپيير في اسكتلندة (1614)، وجوست بورجي في سويسرا (1620)، كل على حدة، اقتراحاً طريقة اللوغاريتمات (أي منطق الأرقام) يمكن بواسطتها إجراء عمليات الضرب والقسمة وإيجاد الحدود في سهولة ويسر من الجداول الرياضية (جداول اللوغاريتمات) بأساس معين. وفي 1616 عدل هنري برجز الطريقة من أجل الحساب العادي، بجعل الأساس 10 ونشر جداول تعطى لوغاريتمات الأعداد من 1 إلى 20.000. وبدأ في وضع جدول به 14 خانة للوغاريتمات العشرية. وللآن يمكن إيجاد حاصل ضرب عددين، بأن يستخرج من مثل هذه الجداول العدد الذي يكون مجموع لوغاريتمه هو مجموع لوغاريتمي العددين المطلوب ضربهما. كما يمكن قسمة أ على ب، بإيجاد العدد الذي لوغاريتمه هو الفرق بين لوغاريتمي أ و ب. (لو أ ب= لو أ - لو ب. ثم أكمل الهولندي أدريان فلاك العمل الذي بدأه برجز.

وحوالي عام 1622، وضع الإنجليزي إدموند جنتر، تصورًا لفكرة كتابة الأعداد على مستطيلات رفيعة وفقًا للوغاريتم الخاص بكلٍ منها، وضربها وقسمتها عن طريق انزلاق مستطيل على الآخر. وتمثل هذه الفكرة أساس المسطرة المنزلقة. وأعد وليام اوترد Oughtred (1622) وإدموند جنتر (1624) مساطر حاسبة يمكن بواسطتها إجراء العمليات الحسابية في ثوان قليلة. استمر استخدام جداول برجز-فلاك حتى تم وضع جداول لوغاريتمات عادية بها 20 خانة في بريطانيا في الفترة في الفترة 1924 و1949م ^[1].

وقد وفرت هذه المخترعات نصف الوقت الذي كان يصرفه الرياضيون والفلكيون ورجال الإحصاء والملاحون والمهندسون، في عملياتهم الحسابية، وأطالت في الواقع حياتهم(9). ووجه كپلر، الذي استخدم الطريقة الجديدة في حساب حركات الكواكب، مديحاً حماسياً إلى لورد مارشستون (في إسكتلندة) 1620، ولم يكن يدري أن نابيير كان قد قضى نحبه قبل سنوات ثلاث، وكان نابيير قد وقع في خطأ يسير في التقدير والحساب، حين حدد أن العالم سينتهي فيما بين عامي 1688 و1700.

اللوغاريتمات حديثا

تصوير تخطيطي لمسطرة منزلقة. بدءاً من 2 على المقياس الأسفل، أضف المسافة إلى 3 على المقياس الأعلى لتصل إلى حاص الضرب 6. وعمل المسطرة المنزلقة لأنها معلـَّمة بحيث أن المسافة من 1 إلى x تتناسب مع لوغاريتم x.

أدى استخدام الحواسيب والحاسبات الإلكترونية إلى إلغاء الحاجة إلى استخدام اللوغاريتمات في العمليات الحسابية. ومع ذلك، فإن اللوغاريتمات لها أهميتها في الأغراض النظرية ^[2].

المطابقات اللوغريتمية

	المعادلة	مثال
product	$\log _{b}(xy)=\log _{b}(x)+\log _{b}(y)\,$	$\log _{3}(243)=\log _{3}(9\cdot 27)=\log _{3}(9)+\log _{3}(27)=2+3=5\,$
quotient	$\log _{b}\!\left({\frac {x}{y}}\right)=\log _{b}(x)-\log _{b}(y)\,$	$\log _{2}(16)=\log _{2}\!\left({\frac {64}{4}}\right)=\log _{2}(64)-\log _{2}(4)=6-2=4$
power	$\log _{b}(x^{p})=p\log _{b}(x)\,$	$\log _{2}(64)=\log _{2}(2^{6})=6\log _{2}(2)=6\,$
root	$\log _{b}{\sqrt[{p}]{x}}={\frac {\log _{b}(x)}{p}}\,$	$\log _{10}{\sqrt {1000}}={\frac {1}{2}}\log _{10}1000={\frac {3}{2}}=1.5$

قواعد خاصة

Base b	Name for log_b(x)	ISO notation	Other notations	Used in
2	binary logarithm	lb(x)^[3]	ld(x), log(x), lg(x)	computer science, information theory, mathematics
e	natural logarithm	ln(x)^{[nb 1]}	log(x) (in mathematics and many programming languages^{[nb 2]})	mathematical analysis, physics, chemistry, statistics, economics, and some engineering fields
10	common logarithm	lg(x)	log(x) (in engineering, biology, astronomy),	various engineering fields (see decibel and see below), logarithm tables, handheld calculators

خواص وقوانين اللوغاريتمات

نظرًا لأن اللوغاريتمات عبارة عن أسس، فإن خصائص الأسس تنطبق عليها.

إستخدامات اللوغاريتمات

A nautilus displaying a logarithmic spiral

الضرب، لضرب رقمين باستخدام اللوغاريتمات، ابحث عن اللوغاريتم الخاص بكل من الرقمين "في" الجدول، وإجمع هذين اللوغاريتمين للحصول على لوغاريتم حاصل ضرب هذين الرقمين، ثم ابحث عن الرقم الذي يكون لوغاريتمه هو لوغاريتم حاصل ضرب الرقمين، مستخدمًا الجدول مرة أخرى.

القسمة، لقسمة رقم على آخر، ابحث عن اللوغاريتم الخاص بكلٍ من الرقمين في الجدول، واطرح لوغاريتم المقام من لوغاريتم البسط، ثم استخدم الجدول مرة أخرى لمعرفة الرقم الذي يكون اللوغاريتم الخاص به هو لوغاريتم حاصل عملية الطرح هذه. هذا الرقم هو حاصل القسمة المطلوب.

رفع الرقم إلى قوة معينة، لكي ترفع رقمًا إلى قوة معينة، ابحث في الجدول عن لوغاريتم هذا الرقم وإضرب هذا اللوغاريتم في أُس القوة، ثم ابحث في الجدول عن الرقم الذي يكون اللوغاريتم الخاص به هو نفس لوغاريتم حاصل عملية الضرب هذه. هذا الرقم هو القوة المطلوبة للرقم الأول.

إيجاد الجذر، لمعرفة جذر رقم ما، ابحث عن لوغاريتم الرقم في الجدول، وإقسم هذا الرقم على أُس الجذر، ثم استخدم الجدول مرة أخرى لمعرفة الرقم الذي يكون اللوغاريتم الخاص به مساويًا لحاصل عملية القسمة، ويكون هذا هو الجذر المطلوب للرقم.

المقياس اللوغاريتمي

A graph of the value of one mark over time. The line showing its value is increasing very quickly, even with logarithmic scale.

A logarithmic chart depicting the value of one Goldmark in Papiermarks during the German hyperinflation in the 1920s

المقياس اللوغاريتمي هو معيار للقياس يستخدم لوغاريتم الكمية الفيزيائية بدلاً من الكمية ذاتها.

أنواع اللوغاريتمات

تقسم اللوغاريتمات إلى قسمين - بحسب أنواعها:

لوغاريتمات عادية، تستخدم العدد 10.
لوغاريتمات طبيعة، بحيث ستخدم الرقم 2.72 في هذه العملية وهو ما يسمى بالعدد النابييري.

انظر أيضا

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

المصادر

^ تاريخ اللغريتمات القديم
^ تاريخ اللغريتمات الحديث
^ Gullberg, Jan (1997), Mathematics: from the birth of numbers., New York: W. W. Norton & Co, ISBN 978-0-393-04002-9
^ Paul Halmos (1985), I Want to Be a Mathematician: An Automathography, Berlin, New York: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-96078-4
^ Irving Stringham (1893), Uniplanar algebra: being part I of a propædeutic to the higher mathematical analysis, The Berkeley Press, p. xiii, http://books.google.com/?id=hPEKAQAAIAAJ&pg=PR13&dq=%22Irving+Stringham%22+In-natural-logarithm&q=
^ Roy S. Freedman (2006), Introduction to Financial Technology, Amsterdam: Academic Press, p. 59, ISBN 978-0-12-370478-8, http://books.google.com/?id=APJ7QeR_XPkC&pg=PA59&dq=%22Irving+Stringham%22+logarithm+ln&q=%22Irving%20Stringham%22%20logarithm%20ln

وصلات خارجية

Media related to لوغاريتم at Wikimedia Commons
Colin Byfleet, Educational video on logarithms, http://mediasite.oddl.fsu.edu/mediasite/Viewer/?peid=003298f9a02f468c8351c50488d6c479, retrieved on 12/10/2010
Edward Wright, Translation of Napier's work on logarithms, http://johnnapier.com/table_of_logarithms_001.htm, retrieved on 12/10/2010

خطأ استشهاد: وسوم <ref> موجودة لمجموعة اسمها "nb"، ولكن لم يتم العثور على وسم <references group="nb"/>

الكلمات الدالة:

[1] تاريخ اللغريتمات القديم

[2] تاريخ اللغريتمات الحديث

[gullberg-3] Gullberg, Jan (1997), Mathematics: from the birth of numbers., New York: W. W. Norton & Co, ISBN 978-0-393-04002-9

[4] Paul Halmos (1985), I Want to Be a Mathematician: An Automathography, Berlin, New York: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-96078-4

[5] Irving Stringham (1893), Uniplanar algebra: being part I of a propædeutic to the higher mathematical analysis, The Berkeley Press, p. xiii, http://books.google.com/?id=hPEKAQAAIAAJ&pg=PR13&dq=%22Irving+Stringham%22+In-natural-logarithm&q=

[6] Roy S. Freedman (2006), Introduction to Financial Technology, Amsterdam: Academic Press, p. 59, ISBN 978-0-12-370478-8, http://books.google.com/?id=APJ7QeR_XPkC&pg=PA59&dq=%22Irving+Stringham%22+logarithm+ln&q=%22Irving%20Stringham%22%20logarithm%20ln

[1]

[2]

[3]

[nb 1]

[nb 2]