قاسم (رياضيات)

The divisors of 10 illustrated with Cuisenaire rods: 1, 2, 5, and 10

قاسم Divisor هو العدد الصحيح n هو عدد صحيح إذا قسمنا عليه العدد n يكون الناتج بدون باقي.

فمثلا 8 قاسم للعدد 24 لأن 24 ÷ 8 = 3 و الباقي 0 . و نقول أيضا أن 24 مضاعف للـ 8 أو 8 يقسم 24 ونرمز لذلك بـ 8 | 24

القواسم الموجبة للعدد 24 هي 1، 2، 3، 4، 6، 8، 12، 24

بشكل عام نقول أن n|m (إقرأ m يقسم n) حيث m، n عدد صحيحان لا يساويا الصفر، إذا و فقط إذا وجد عدد صحيح k بحيث k×m = n

و بمكن أن نكتب ذلك بصيغة رياضية على الشكل التالي:

$\forall n,m\in Z^{*}:m|n\Longleftrightarrow \exists k\in Z^{*}:n=k\times m$

مما سبق نجد أن القواسم يمكن تكون أعداد سالبة و بشكل أكثر دقة لكل قاسم موجب نظير سالب فمثلا وفق المثال السابق يوجد للعدد 24 أيضا 8 قواسم سالبة و هي -1، -2، -3، -4، -6، -8، -12، -24 لكن عندما نتكلم عن القواسم غالبا ما نقصد بذلك القواسم الموجبة فقط.

• 1، -1 يقسمان جميع الأعداد الصحيحة.
• كل عدد صحيح يقسم نفسه.
• كل عدد صحيح يقسم 0 ماعدا الصفر نفسه.
• الأعداد التي يقسمها العدد 2 تسمى بالزوجية و التي لا يقسمها بالفردية

لكل عدد صحيح n أربعة قواسم على الأقل هي -1، 1، n، n- و تدعى بالقواسم البديهية أما القواسم الأخرى فهي غير بديهية.

مثلا القواسم البديهية للـ 24 هي 1، -1، -24، 24 أما القواسم الأخرى فهي غير بديهية

الأعداد التي لها قواسم بديهية فقط تدعى بالأولية أما الأعداد التي لها قواسم غير بديهية تدعى بالمركبة

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

 أمثلة

Plot of the number of divisors of integers from 1 to 1000. Prime numbers have exactly 2 divisors, and highly composite numbers are in bold.

• 7 is a divisor of 42 because $7\times 6=42$, so we can say $7\mid 42$. It can also be said that 42 is divisible by 7, 42 is a multiple of 7, 7 divides 42, or 7 is a factor of 42.
• The non-trivial divisors of 6 are 2, −2, 3, −3.
• The positive divisors of 42 are 1, 2, 3, 6, 7, 14, 21, 42.
• $5\mid 0$, because $5\times 0=0$.
• The set of all positive divisors of 60, $A=\{1,2,3,4,5,6,10,12,15,20,30,60\}$, partially ordered by divisibility, has the Hasse diagram:

 See also

• Arithmetic functions
• Divisibility rule
• Divisor function
• Euclid's algorithm
• Fraction (mathematics)
• Table of divisors — A table of prime and non-prime divisors for 1–1000
• Table of prime factors — A table of prime factors for 1–1000
• Unitary divisor

 References

• Durbin, John R. (1992). Modern Algebra: An Introduction (3rd ed.). New York: Wiley. ISBN 0-471-51001-7. {{cite book}}: Invalid |ref=harv (help)
• Richard K. Guy, Unsolved Problems in Number Theory (3rd ed), Springer Verlag, 2004 ISBN 0-387-20860-7; section B.
• Herstein, I. N. (1986), Abstract Algebra, New York: Macmillan Publishing Company, ISBN 0-02-353820-1 
• Øystein Ore, Number Theory and its History, McGraw–Hill, NY, 1944 (and Dover reprints).
• Sims, Charles C. (1984), Abstract Algebra: A Computational Approach, New York: John Wiley & Sons, ISBN 0-471-09846-9