قاسم (رياضيات)

The divisors of 10 illustrated with Cuisenaire rods: 1, 2, 5, and 10

قاسم Divisor هو العدد الصحيح n هو عدد صحيح إذا قسمنا عليه العدد n يكون الناتج بدون باقي.

فمثلا 8 قاسم للعدد 24 لأن 24 ÷ 8 = 3 و الباقي 0 . و نقول أيضا أن 24 مضاعف للـ 8 أو 8 يقسم 24 ونرمز لذلك بـ 8 | 24

القواسم الموجبة للعدد 24 هي 1، 2، 3، 4، 6، 8، 12، 24

بشكل عام نقول أن n|m (إقرأ m يقسم n) حيث m، n عدد صحيحان لا يساويا الصفر، إذا و فقط إذا وجد عدد صحيح k بحيث k×m = n

و بمكن أن نكتب ذلك بصيغة رياضية على الشكل التالي:

${\displaystyle{\displaystyle\forall n,m\in Z^{*}:m|n\Longleftrightarrow\exists k\in Z^{*}:n=k\times m}}$

مما سبق نجد أن القواسم يمكن تكون أعداد سالبة و بشكل أكثر دقة لكل قاسم موجب نظير سالب فمثلا وفق المثال السابق يوجد للعدد 24 أيضا 8 قواسم سالبة و هي -1، -2، -3، -4، -6، -8، -12، -24 لكن عندما نتكلم عن القواسم غالبا ما نقصد بذلك القواسم الموجبة فقط.

• 1، -1 يقسمان جميع الأعداد الصحيحة.
• كل عدد صحيح يقسم نفسه.
• كل عدد صحيح يقسم 0 ماعدا الصفر نفسه.
• الأعداد التي يقسمها العدد 2 تسمى بالزوجية و التي لا يقسمها بالفردية

لكل عدد صحيح n أربعة قواسم على الأقل هي -1، 1، n، n- و تدعى بالقواسم البديهية أما القواسم الأخرى فهي غير بديهية.

مثلا القواسم البديهية للـ 24 هي 1، -1، -24، 24 أما القواسم الأخرى فهي غير بديهية

الأعداد التي لها قواسم بديهية فقط تدعى بالأولية أما الأعداد التي لها قواسم غير بديهية تدعى بالمركبة

 أمثلة

Plot of the number of divisors of integers from 1 to 1000. Prime numbers have exactly 2 divisors, and highly composite numbers are in bold.

• 7 is a divisor of 42 because ${\displaystyle{\displaystyle 7\times 6=42}}$, so we can say ${\displaystyle{\displaystyle 7\mid 42}}$. It can also be said that 42 is divisible by 7, 42 is a multiple of 7, 7 divides 42, or 7 is a factor of 42.
• The non-trivial divisors of 6 are 2, −2, 3, −3.
• The positive divisors of 42 are 1, 2, 3, 6, 7, 14, 21, 42.
• ${\displaystyle{\displaystyle 5\mid 0}}$, because ${\displaystyle{\displaystyle 5\times 0=0}}$.
• The set of all positive divisors of 60, ${\displaystyle{\displaystyle A=\{1,2,3,4,5,6,10,12,15,20,30,60\}}}$, partially ordered by divisibility, has the Hasse diagram:

 See also

• Arithmetic functions
• Divisibility rule
• Divisor function
• Euclid's algorithm
• Fraction (mathematics)
• Table of divisors — A table of prime and non-prime divisors for 1–1000
• Table of prime factors — A table of prime factors for 1–1000
• Unitary divisor

 References

• Durbin, John R. (1992). Modern Algebra: An Introduction (3rd ed.). New York: Wiley. ISBN 0-471-51001-7. {{cite book}}: Invalid |ref=harv (help)
• Richard K. Guy, Unsolved Problems in Number Theory (3rd ed), Springer Verlag, 2004 ISBN 0-387-20860-7; section B.
• Herstein, I. N. (1986), Abstract Algebra, New York: Macmillan Publishing Company, ISBN 0-02-353820-1 
• Øystein Ore, Number Theory and its History, McGraw–Hill, NY, 1944 (and Dover reprints).
• Sims, Charles C. (1984), Abstract Algebra: A Computational Approach, New York: John Wiley & Sons, ISBN 0-471-09846-9