فرضيات الاحتمال

في نظرية الاحتمالات، إن احتمال P حدث ما E والذي يكتب رياضياً بالشكل $P(E)\,$ يعرف غالباً بحيث يحقق P بديهيات كولموگوروف التي ستوصف أدناه.

يمكن تلخيص البديهيات على النحو التالي: ليكن لدينا فضاء القياس (Ω, F, P) حيث P(Ω)=1. فيكون (Ω, F, P) فضاءً احتمالياً، بفضاء عينة Ω، وفضاء أحداث F، وقياس احتمالي P.

توجد مقاربة أخرى لتشكيل الاحتمالات، مفضلة من قبل أصحاب الاتجاه البايزي من خلال نظرية كوكس.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

 البديهية الأولى

The probability of an event is a non-negative real number:

$P(E)\geq 0\qquad {\text{for all }}E\in F,$

where $F$ is the event space and $E$ is any event in $F$. In particular, $P(E)$ is always finite, in contrast with more general measure theory.

 البديهية الثانية

This is the assumption of unit measure: that the probability that some elementary event in the entire sample space will occur is 1. More specifically, there are no elementary events outside the sample space.

$P(\Omega )=1$.

This is often overlooked in some mistaken probability calculations; if you cannot precisely define the whole sample space, then the probability of any subset cannot be defined either.

 البديهية الثالثة

This is the assumption of σ-additivity:

Any countable sequence of pairwise disjoint (synonymous with mutually exclusive) events $E_{1},E_{2},...$ satisfies $P(E_{1}\cup E_{2}\cup \cdots )=\sum _{i}P(E_{i}).$

Some authors consider merely finitely additive probability spaces, in which case one just needs an algebra of sets, rather than a σ-algebra.

 نتائج

From the Kolmogorov axioms, one can deduce other useful rules for calculating probabilities.

 Monotonicity

$P(A)\leq P(B)\quad {\text{if}}\quad A\subseteq B.$

 The probability of the empty set

$P(\emptyset )=0.$

 The numeric bound

It immediately follows from the monotonicity property that

$0\leq P(E)\leq 1\qquad {\text{for all }}E\in F.$

 Proofs

The proofs of these properties are both interesting and insightful. They illustrate the power of the third axiom, and its interaction with the remaining two axioms. When studying axiomatic probability theory, one is amazed at first how many deep consequences follow from merely three axioms.

In order to verify the monotonicity property, we set $E_{1}=A$ and $E_{2}=B\backslash A$, while $E_{i}=\emptyset$ for $i\geq 3$. It is easy to see that the sets $E_{i}$ are pairwise disjoint and $E_{1}\cup E_{2}\cup \ldots =B$. Hence, we obtain from the third axiom that

$P(A)+P(B\backslash A)+\sum _{i=3}^{\infty }P(\emptyset )=P(B).$

Since the left-hand side of this equation is a series of non-negative numbers, and that it converges to $P(B)$ which is finite, we obtain both $P(A)\leq P(B)$ and $P(\emptyset )=0$. The second part of the statement is seen by contradiction: if $P(\emptyset )=a$ then the left hand side is not less than

$\sum _{i=3}^{\infty }P(E_{i})=\sum _{i=3}^{\infty }P(\emptyset )=\sum _{i=3}^{\infty }a={\begin{cases}0&{\text{if }}a=0,\\\infty &{\text{if }}a>0.\end{cases}}$

If $a>0$ then we obtain a contradition, because the sum does not exceed $P(B)$ which is finite. Thus, $a=0$. We have shown as a byproduct of the proof of monotonicity that $P(\emptyset )=0$.

 More consequences

Another important property is:

$P(A\cup B)=P(A)+P(B)-P(A\cap B)$

This is called the addition law of probability, or the sum rule. That is, the probability that A or B will happen is the sum of the probabilities that A will happen and that B will happen, minus the probability that both A and B will happen. This can be extended to the inclusion-exclusion principle.

$P(\Omega \setminus E)=1-P(E)$

That is, the probability that any event will not happen is 1 minus the probability that it will.

 انظر أيضاً

• نظرية كوكس

 قراءة متقدمة

• Von Plato, Jan, 2005, "Grundbegriffe der Wahrscheinlichtkeitsrechnung" in Grattan-Guinness, I., ed., Landmark Writings in Western Mathematics. Elsevier: 960-69. (in English)
• Glenn Shafer; Vladimir Vovk, The origins and legacy of Kolmogorov’s Grundbegriffe, http://www.probabilityandfinance.com/articles/04.pdf 

 روابط خارجية

• The Legacy of Andrei Nikolaevich Kolmogorov Curriculum Vitae and Biography. Kolmogorov School. Ph.D. students and descendants of A.N. Kolmogorov. A.N. Kolmogorov works, books, papers, articles. Photographs and Portraits of A.N. Kolmogorov.

 بدهيات نظرية الاحتمال الأساسية

«Axioms Of Probability»

«برتراند رسل» في «المعرفة الانسانية» والذي نقل بدوره عن الاستاذ «تشارلي دنبر برود»«Charlie Dunbar Broad» في مجلة «العقل» ست بدهيات لنظرية الاحتمال.

• احتمال «A»و«B» - حال تحققهما معا - يرمز له ب
• احتمال«A»و«B»- حال تحقق احدهما - يرمز له ب

وما يهمنا اساسا في البدهيات هو معرفة ان:

• افتراض «A» و «B» يعني ان هناك قيمة واحدة فقط ل«A/B»، وعليه نستطيع ان نتحدث عن احتمال «A» على اساس «B».

• احتمال وقوع الحدث الاكيد = 1 .

• احتمال وقوع الحدث المستحيل = «0» .

• اذا كان الحدث «A» مجموعة جزئية من الفضاء العيني «S» فان:

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

 «بدهية الاتصال»

Conjunctive Axiom

يرجع الفضل في صياغة هذا المبدا إلى الدكتور تشارلي دنبر برود استاذ الفلسفة في جامعة كمبردج . ومفاده اننا اذا اردنا معرفة قيمة احتمال حدثين معا (حدث «A» وحدث «B») فاحتمالهما معا يساوي حاصل ضرب احتمال حدث (A) في احتمال حدث (B) على تقدير وقوع (A). ويرمز لذلك ب:

$P(A\cap B)=P(A)\cdot P(B\vert A).\,$

أما اذا كان «A» و «B» حدثين مستقلين، فهذا يعني ان

$P(A\cap B)=P(A)\cdot P(B).\,$

 امثلة توضيحية :

 المثال الاول:

لو اردنا حساب درجة احتمال تفوق الطالب «A» بالمنطق والرياضات معا ، وجب علينا ضرب احتمال تفوقه في المنطق باحتمال ان يكون متفوقا في الرياضيات بعد كونه متفوقا في المنطق .

 المثال الثاني:

اذا كان لدينا اناء به 12 كرة، 5 منها لونها احمر، و 4 لونها اخضر،و 3 لونها اصفر، ولم تكن الطابات موزعة بطريقة تقوي احتمال اختيار احداها كيفيا، واخترنا من المجموع 3 طابات عشوائيا، بان كانت النتيجة اننا اخرجنا من الوعاءثلاث طابات بقيت جميعا خارج الوعاء. فما هو احتمال ان تكون الطابات كلها حمراء؟ والجواب: اما احتمال ان تكون الطابات كلها حمراء، فبدهية «الاتصال» تتكفل بذلك فنقول:

ان احتمال وقوع «A» مع «B» مع «C» على التوالي يساوي: احتمال وقوع «A» × (احتمال وقوع «B» بعد تحقق «A»)؛ (احتمال وقوع «C» بعد تحقق (A) و (B)) .

ويكون احتمال كونها جميعا حمراء = احتمال ان تكون الاولى حمراء × احتمال ان تكون الثانية حمراء بعد كون الاولى حمراء × احتمال ان تكون الثالثة حمراء بعد كون الاولى والثانية حمراوين.

ولا يخفى ان:

1 - احتمال كون الاولى حمراء = (عدد الطابات الحمراء / عدد مجموع الطابات) = (5/12).

2 - احتمال كون الثانية حمراء = (عدد الطابات الحمراء بعد اختيار الطابة الاولى / عدد مجموع الطابات بعد اختيارالطابة الاولى )= (4/11 ).

3 - احتمال كون الثالثة حمراء = (عدد الطابات الحمراء بعد اختيار الطابتين الاولى الثانية / عدد مجموع الطابات بعداختيار الطابتين الاولى والثانية) : ( 3/10).

$P(A\cap B\cap C)\,$

1/22=(60/1320)= 3/10 * 4/11 * 5/12 =

 «بدهية الانفصال»

«Disjunctive Axiom»

وكذلك يرجع الفضل في صياغة هذا المبدا إلى الدكتور تشارلي دنبر برود . ومفاد هذه البدهية ان درجة احتمال ان يتصف «A» بواحدة على الاقل من صفتي «B» و «C» هي درجة احتمال اتصاف «A» ب «B» وحدها + احتمال اتصاف «A» ب «C» وحدها - احتمال اتصاف «A» ب «B» و «C» معا .

ويرمز لذلك ب:

$P(A\cup B)=P(A)+P(B)-P(A\cap B).\,$

وقد تقدم ان بدهية الاتصال تتكفل بتحديد احتمال اجتماع «A» و «B» والمشار اليه باحتمال A Ç B.

ملاحظتان مهمتان:

1 - لو كان الحدثان منفصلين :

$P(A\cup B)=P(A)+P(B)-P(A)\cdot P(B).\,$

2 - في بدهية الانفصال ذكرنا احتمال اتصاف «A» ب «B» وحدها وكذلك الامر بالنسبة إلى «C» وهذا يعني اننا ناخذ بعين الاعتبار كلا الاحتمالين في نفسيهما، بغض النظر عن تحقق الحدث الاخر. وهذا ما اشار اليه «رسل» في «المعرفة الانسانية» .

 امثلة توضيحية

 المثال الاول:

والمثال القريب من المثال المتقدم في «بدهية الاتصال» هو اننا لو اردنا معرفة درجة احتمال ان يكون الطالب متفوقا في المنطق «او» الرياضيات، جمعنا درجة تفوقه في الرياضيات مع درجة احتمال تفوقه في المنطق، وطرحنا من ذلك درجة احتمال تفوقه فيهما معا التي تحددها بدهية الاتصال، فيكون الناتج هو درجة احتمال تفوقه في احدهما .

 المثال الثاني:

مثال «برتراند رسل» :

اذا سحبنا بطاقتين من 52 بطاقة نصفها احمر والنصف الاخر اسود، فان احتمال خروج احدى البطاقتين على الاقل حمراء = احتمال خروج الاولى حمراء + احتمال خروج الثانية كذلك - احتمال خروجهما معا كذلك :

(26/52+51/25)-(52/26×51/25) [على ما تحدده بدهية الاتصال]

- 102/25 = 2/1 + 2/1 - (2/1×51/25) = 1

 المثال الثالث:

اذا سحبنا كرتين من وعاءين (من كل وعاء كرة)، في الاول منهما 8كرات بيضاء و كرتان سوداوان، وفي الثاني 6 كرات بيضاء و 4 كرات سوداء، فان درجة احتمال كون احداهما على الاقل بيضاء = احتمال كون الاولى بيضاء + احتمال كون الثانية كذلك - احتمال كونهما معا كذلك = 10/8 + 10/6 - 10/(6×8)48=100/92.

 المثال الرابع:

مثال اذا كانت لدينا حقيبتان تحتوي الحقيبة الاولى على 5 كرات زرقاء وخمس كرات صفراء ، وتحتوي الحقيبة الثانية على 6كرات زرقاء واربع كرات صفراء، وقمت بسحب كرتين: واحدة من الحقيبة الاولى واخرى من الحقيبة الثانية، فما هي درجة احتمال ان تخرج احداهما زرقاء؟

الجواب = ان احتمال خروج احداهما زرقاء = احتمال خروج الاولى زرقاء + احتمال خروج الثانية زرقاء - احتمال خروجهما معا زرقاوين

8\10 = 3\10 - 6\10 + 5\10 = (6/10*5/10) - 6/10 + 5/10

 مسالة الحوادث الثلاث

وهي تناقش مالو كانت ثلاث حوادث تحدث معا، و اردنا معرفة احتمال وقوع حدث على الاقل من بين ثلاثة حوادث، وذلك لان احتمال احد الحوادث على الاقل يعني:

$P(A\cup B\cup C)=P[A\cup (B\cup C)]=P(A)+P(B\cup C)-P[A\cap (B\cup C)]\,$

(على ما تقدم في بدهية الانفصال)

$P(C)+P(B)+P(A)-P(B\cap C)-P(A\cap C)-P(A\cap B)+P(A\cap B\cap C)=P(A)+[P(B\cap C)-P(C)+P(B)]-P[(A\cap B)\cup (A\cap C)]\,$

لكن لا باس على اي حال بتقريب الفكرة بمثال:

مثال: اذا كان لدينا وعاء فيه ست طابات حمراء واربع صفراء، واخترنا عشوائيا منها ثلاثا، فما هو احتمال خروج طابة حمراء على الاقل من الطابات الثلاث؟

الجواب: الصياغة الاخرى للمسالة المذكورة، هي محاولة معرفة احتمال ان تكون الطابة الاولى حمراء او الطابة الثانية اوالطابة الثالثة، وحلها كالتالي:

$(P(C)=P(B)=P(A.\,$

3/5=6/10=6/(6+4)=

ومرد تساوي الاحتمالات إلى ان (P(A و (P(B و (P(C تعني اخذ الاحتمالات بحد نفسها، وبغض النظر عن الاخرى.

$P(B\cap C)=Pr(A\cap C)=Pr(A\cap B)\,$

1/3=30/90=5/9*6/10=

ووجهه انها كلها ترمز إلى اخذ احتمال تحقق احدها بعد تقديرتحقق الاخر.

$P(A\cap B\cap C)\,$

1/6=120/720=4/8×5/9×6/10=

اذا: احتمال خروج طابة حمراء على الاقل من الطابات الثلاث المختارة يساوي 30/29 .

التاكد من نتيجة «بدهية الانفصال» بواسطة «بدهية الاتصال»:

وللتاكد من هذه النتيجة، يمكن الاستعانة ببدهية الاتصال، حيث نحسب احتمال خروج الطابات كلها صفراء ونطرح هذا الاحتمال من «واحد» (1) الذي هو احتمال الحدث الاكيد للطرف الاخر - اعني الطابات الحمراء - ، وذلك لان «خروج الطابات كل ها صفراء» و «خروج واحدة حمراء على الاقل» عبارة عن حدثين متضادين يساوي مجموعهماواحدا كما تقدم.

• احتمال خروج الطابات كلها صفراء=4/10×9/3×2/8=30/1
• احتمال خروج طابة على الاقل حمراء=1-30/1=30/29، وهو ما توصلنا اليه اعلاه.

 خلاصة اجراء قواعد الاحتمال

1 - بملاحظة تكرار الحوادث :

اما بملاحظة تكرار الحوادث فان قياس الاحتمال تارة يكون في الحوادث البسيطة واخرى في الحوادث المركبة:

1 - قياس الاحتمال في الحوادث البسيطة:

«بصفة عامة نقول ان درجة احتمال وقوع حدثة ما، هي كسر بسطه واحد ومقامه عدد الممكنات» . لكن بشكل اعم، يمكن الاستعانة بقاعدة عامة تجري غالبا وهي:

احتمال (A)= عدد الحالات المتوفرة ل«A» / عدد الحالات الممكنة ل«A».

2 - قياس الاحتمال في الحوادث المركبة او الاحتمال الشرطي: ان قياس الاحتمال في الحوادث المركبة يتخذ احدى صيغتين تقدمتا معنا مفصلا، و هما عبارة عن بدهيتي «الاتصال» و«الانفصال».

2 - بملاحظة طريقة الحدوث :

اما بلاحظة طريقة الحدوث ، فاننا على ما تقدم استعنا تارة بقاعدة الجمع، واخرى بقاعدة الضرب:

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

 قاعدة الجمع :

تستخدم قاعدة الجمع لقياس قيمة احتمال احدى الحوادث بالنسبة إلى الاخرى وهي تعتمد اساسا على بدهية الانفصال . وقد ذكرنا انها تجري فيما لو كنا نريد قياس احتمال احد الحدثين او الحوادث على الاقل، وقلنا بان:

احتمال وقوع الحدثين يرمز له ب

<A \cap B </math <>.

احتمال وقوع احد الحدثين : احتمال وقوع الحدث الاول + احتمال وقوع الحدث الثاني - احتمال وقوعهما معا (امااحتمال وقوعهما معا فتتكفل بدهية الاتصال بتحديده).

او قل بعبارة اخرى:

احتمال وقوع احدى الحوادث = مجموع احتمالات وقوعها - احتمال انضمامها.

وان الحدثين لو كانا منفصلين، فان احتمال وقوعهما معامستحيل (يساوي صفرا)، الامر الذي يعني ان احتمال وقوع احد الحدثين = احتمال وقوع الحدث الاول + احتمال وقوع الحدث الثاني.

 قاعدة الضرب :

تستخدم قاعدة الضرب لقياس قيمة احتمال اجتماع حدثين معا، وهي تعتمد اساسا على بدهية الاتصال.و قدذكرنا انها تجري فيما لو كنا نريد قياس احتمال وقوع الحدثين معا.

وقلنا بان: 1 - احتمال وقوع أحد الحدثين.

2 - احتمال وقوع الحدثين معا= احتمال وقوع الحدث الاول× احتمال وقوع الحدث الثاني بعد تحقق الاول.

3 - وان الحدثين لو كانا مستقلين، فلا معنى لتحقق احدهما بشرط تحقق الاخر الامر الذي يعني ان :

(احتمال اجتماعهما :احتمال تحقق الاول ؛ احتمال تحقق الثاني) .