درس:الممانعة

تعبر ممانعة عنصر ما $Z\,$ عن مدى إعاقة هذا العنصر لمرور التيار فيه. فإذا تسببت فلطية عقدية $V\,$ بمرور تيار عقدي $I\,$ في عنصر ما، فإن ممانعة العنصر هي بالتعريف:

$Z={\frac {V}{I}}=R+jX\,$ حيث $j^{2}=-1\,$

$R\,$ و$X\,$ قيمتان حقيقيتان: فأما $R\,$ فهي مقاومة العنصر، وأما $X\,$ فتدعى تفاعلية العنصر.

1. ممانعة المقاومة الأومية: بما أن المقاومة لا تقوم بتخزين الطاقة، فإن تغيرا في الفلطية بين طرفيها يعطي تغيرا آنيا للتيار المار فيها، ومن ثم يكون كل من التيار والفلطية على توافق في الطور، أي:

$Z_{R}={\frac {V}{I}}={\frac {\left|V\right|{\angle }\theta }{\left|I\right|{\angle }\theta }}=R{\angle }0=R+0j\,$

ملاحظة: لا تتعلق ممانعة المقاومة بالنبض $\omega \,$

1. ممانعة الوشيعة المثالية: تخزن الوشيعة طاقة في حقلها المغناطيسي، وإن تغير التيار (وهذا ما يحصل باستمرار في التيار المتناوب) يتسبب تغيرا في الطاقة المخزنة، وبالتالي ينتج عن ذلك تغير في الفلطية على طرفي الوشيعة، وبالتالي فإن الفلطية والتيار ليسا على توافق في الوشيعة.

سنحاول استنتاج ممانعة الوشيعة المثالية. لنفرض أن التيار المار في وشيعة يعطى بالعلاقة: $i(t)=I_{m}\sin \omega t\,$

وبما أن الفلطية بين طرفي الوشيعة تعطى بالعلاقة: $v_{L}=L{\frac {\mathit {di}}{\mathit {dt}}}\,$ فتكون الفلطية إذا:

$v_{L}=\omega LI_{m}\cos \omega t=\omega LI_{m}{\sin(\omega t+90^{o})}=V_{m}\sin(\omega t+90^{o})\,$

حيث : $V_{m}=(\omega L)I_{m}=X_{L}I_{m}\,$ الفلطية العظمى بين طرفي الوشيعة. نسمي $X_{L}\,$ تفاعلية الوشيعة.

نلاحظ من معادلتي التيار والفلطية أن فرق الصفحة بين التابعين الجيبيين في علاقة الفلطية والتيار هو 90 درجة. وبالتالي الفلطية متقدمة على التيار بهذا المقدار، والتيار متأخر عن الفلطية بالمقدار نفسه.

الآن يمكننا حساب الممانعة:

$Z_{L}={\frac {V_{L}}{I}}={\frac {V_{m}{\angle }90^{o}}{I_{m}{\angle }0}}=({\frac {V_{m}}{I_{m}}}){\angle }(90^{o}-0)=j\omega L\,$

ملاحظة: تتناسب ممانعة الوشيعة طردا مع النبض لذلك تكون ممانعة الوشيعة كبيرة في الترددات العالية، وتكون صفرا عندما يكون النبض معدوما (فتقوم بإغلاق الدارة عند مرور تيار مستمر).

1. ممانعة المكثفة المثالية: تقوم المكثفة باختزان طاقة في حقلها الكهربائي، وبالتالي فإن التغير في الفلطية بين طرفيها يؤدي إلى تغير في الطاقة المختزنة، وبذلك يتغير التيار الذي يتدفق عبرها. وبالتالي لا تكون المكثفة والتيار على توافق في الطور.

سنحاول استنتاج ممانعة المكثفة المثالية. لنفرض أن الفلطية المطبقة على طرفيها تعطى بالعلاقة: $v_{c}(t)=V_{m}\sin \omega t\,$

وبما أن التيار المار في المكثفة يعطى بالعلاقة: $i=C{\frac {{\mathit {dv}}_{c}}{\mathit {dt}}}\,$ فيكون التيار إذا:

$v_{L}=\omega CV_{m}\cos \omega t=\omega LV_{m}{\sin(\omega t+90^{o})}=I_{m}\sin(\omega t+90^{o})\,$

حيث:$I_{m}=(\omega C)V_{m}={\frac {V_{m}}{X_{c}}}\,$ قيمة التيار العظمى التي تمر في الدارة. نسمي $X_{c}={\frac {1}{\mathit {wC}}}\,$ تفاعلية المكثفة.

نلاحظ من معادلتي التيار والفلطية أن فرق الصفحة بين التابعين الجيبيين في علاقة الفلطية والتيار هو 90 درجة. وبالتالي التيار متقدم على الفلطية بمقدار 90 درجة ، والفلطية متأخرة عن التيار بالمقدار نفسه.

الآن يمكننا حساب الممانعة:

$Z_{L}={\frac {V_{L}}{I}}={\frac {V_{m}{\angle }0}{I_{m}{\angle }90^{o}}}=({\frac {V_{m}}{I_{m}}}){\angle }(0-90^{o})=-j{\frac {1}{\omega C}}={\frac {1}{j\omega C}}\,$

ملاحظة: تتناسب ممانعة المكثفة عكسا مع النبض لذلك تكون ممانعة الوشيعة عالية في الترددات المنخفضة، وتكون ممانعتها لانهائية في التيار المستمر حيث يكون النبض معدوما.

وفي المحاضرة القادمة إن شاء الله سندرس بالتفصيل تمثيل هذه الممانعات بالإضافة إلى التيارات والفلطيات في المستوي العقدي وحسب إنشاء فرينيل، مما قد يسهل من استيعاب المفهوم بشكل كبير.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

 التأثرية B

هي مقلوب التفاعلية $X\,$، أي أنها مقلوب القسم التخيلي من الممانعة العقدية: $B={\frac {1}{X}}\,$

وبالتالي تأثرية الوشيعة:$B_{L}={\frac {1}{j\omega L}}\,$، وتأثرية المكثفة: $B_{c}=j\omega C\,$

 القبولية Y

هي مقلوب الممانعة العقدية $Z\,$، وتعطى بالعلاقة: $Y={\frac {1}{Z}}\,$

وبالتالي قبولية المقاومة:$Y_{R}={\frac {1}{R}}\,$، قبولية الوشيعة:$Y_{L}={\frac {1}{j\omega L}}\,$، قبولية المكثفة: $Y_{C}={\frac {1}{\frac {1}{j\omega C}}}=j\omega C\,$

 وصل الممانعات والممانعات المكافئة

1. من أجل n ممانعة موصولة على التسلسل، تكون قيمة الممانعة المكافئة مجموع قيم الممانعات:

$Z_{E}=\sum _{i=1}^{n}Z_{i}\,$

1. أما من أجل n ممانعة موصولة على التفرع، تكون مقلوب قيمة الممانعة المكافئة مجموع المقاليب:

${\frac {1}{Z_{E}}}=\sum _{i=1}^{n}{\frac {1}{Z_{i}}}$ أو $Y_{E}=\sum _{i=1}^{n}Y_{i}\,$

ومن أجل ممانعتين فقط موصولتين على التفرع يمكننا أن نكتب العلاقة بالشكل: $Z_{E}={\frac {Z_{1}Z_{2}}{Z_{1}+Z_{2}}}\,$