دالة رتيبة
الدالة الرتيبة في الرياضيات هي دالة تحافظ على ترتيب ما. نشأ مصطلح الدالة الرتيبة من حساب التفاضل والتكامل وعمّم لاحقًا لما يطلق عليه أسم نظرية الترتيب.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
الدوال الرتيبة في التحليل الرياضي وحساب التفاضل والتكامل
في سياق التحليل الرياضي وحساب التفاضل والتكامل، تدعى الدالة الحقيقيّة f المعرفة على مجموعة جزئية من الأعداد الحقيقية دالة رتيبة تصاعدية (أحيانًا، دالة تصاعدية أو غير تنازليّة)، إذا كان لكل x ≤ y يتحقّق أيضًا ، أي أنّها تحافظ على الترتيب (أنظر رسم 1). وبحسب نفس المنطق، فإنّ f رتيبة تنازلية (تنازلية أو غير تصاعدية) إذا كان لكل x ≤ y يتحقّق أيضًا ، أي أنّ الدالة تعكس الترتيب (انظر رسم 2).
إذا ما استبدلت اشارات "الأكبر أو يساوي" ≤ بإشارات "أكبر من" < نحصل على شرط أقوى. في هذه الحالة يطلق على الدوال اسم تصاعدية تمامًا أو تنازلية تمامًا بالتناظر. ومن خواص هذه الدوال أنّها دوال واحد لواحد (أي بالامكان تعريف دالة عكسية لها)، أذ أنّه إذا كان لـx ولـy قيمتين مختلفتين، فإمّا أن يكون x < y أو x > y، وحسب نوع الدالة الرتيبة (تصاعدية أم تنازلية تمامًا) يكون أو ، وعلى كل حال فإنّ وهو ما يجعلها دالة واحد لواحد.
الدوال البولية
في الجبر البولي، الدالة الرتيبة هي تلك التي يكون فيها لكل ai و bi في {0,1} بحيث a1 ≤ b1, a2 ≤ b2, ... , an ≤ bn
فإنه صحيح أن:
- f(a1, ... , an) ≤ f(b1, ... , bn).
الدوال البولية الرتيبة هم بالدقة اولئك اللائي يمكن تعريفهن كتركيب ل ands (conjunction) و ors (disjunction)، ولكن بدون nots (نفي).
عدد تلك الدوال على n متغير يـُعرف بإسم عدد ددكيند Dedekind number لـ n.
بعض الخواص والنتائج الأساسية
الخواص التالية صحيحة لأي دالة رتيبة :
- للدالة f نهاية من اليمين ومن اليسار في كل نقطة من نطاق الدالة؛
- للدالة f نهاية في اللانهاية (في و )، وقد تكون تلك إمّا عددًا حقيقيًا أو أو ؛
- أيّة نقاط نقاط عدم استمرار للدالة f تكون حتمًا من نوع قفزة؛
انظر أيضًا
- Monotone cubic interpolation
- Pseudo-monotone operator
- رتابة تامة Total monotonicity
- دالة مستمرة
- دالة عكسية
وصلات خارجية
- Convergence of a Monotonic Sequence by Anik Debnath and Thomas Roxlo (The Harker School), Wolfram Demonstrations Project.