دالة بسل

في الرياضيات، دوال بسل عبارة عن الحلول القانونية (y(x لمعادلة بسل التفاضلية

$x^{2}{\frac {d^{2}y}{dx^{2}}}+x{\frac {dy}{dx}}+(x^{2}-\alpha ^{2})y=0$

من أجل عدد حقيقي اختياري أو عدد مركب α (رتبة دالة بسل). الحالة الخاصة والأكثر انتشارا هي عندما تكون α عدد صحيح n.

كان عالم الرياضيات دانيال برنولي أول من عرفها ثم عممت من قبل فريدريش بسل.

مع أن α و−α تعطي نفس المعادلة التفاضلية, من المألوف تعريف دوال بسل مختلفة للترتبتين هاتين. تعرف دوال بسل أيضا ب دوال الاسطوانة أو التوافقيات الاسطوانية لأنها تمثل الحل لمعادلة لابلاس في الإحداثيات الاسطوانية.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

 تطبيقات دالة بسل

تظهر معادلة بسل عند الحاجة لحلول معادلة لاپلاس ومعادلة هلمهوتس في الإحداثيات الإسطوانية أو الإحداثيات الكروية. لذا فإن دوال بسل ذات أهمية كبرى في مسائل انتشار الموجة والساكنة.

عند حل مسائل في أنظمة الاحداثيات الاسطوانية، يحصل المرء على دوال بسل ذات رتبة صحيحة (α == n); في الاحداثيات الكروية يحصل على رتب أنصاف أعداد صحيحة (α == n + ½). على سبيل المثال:

• موجات كهرومغنطيسية في دليل الموجة الاسطواني.
• قانون توصيل الحرارة في جسم اسطواني.
• أنماط التذبذب في جسم دائري (حلقي) غشاء صناعي (مثلا طبلة أو أي ممبرانوفون).
• مسائل الانتشار على شكل شبكي.
• حلول معادلة شرودنجر (في الاحداثيات الكروية) لجسيم طليق.

هناك تطبيقات أخرى لدوال بسل وخواص كما في معالجة الإشارة (مثل اصطناع الإف إم، نافذة كايسر، مرشح بسل).

 تعاريف

بما أن دالة بسل معادلة تفاضلية، ينبغي أن يكون لها حلين مستقلين خطيا. اعتمادا على الحالات، بالرغم من ذلك، فإن صيغا مختلفة من هذه الحلول تكون مناسبة. فيما يلي وصفا لهذه الأنواع المختلفة.

 دوال بسل من النوع الأول : J_α

دوال بسل من النوع الأول التي يرمز لها $J_{\alpha }(x)\,$, هي حلول معادلة بسل التفاضلية التي تكون محدودة عند نقطة الأصل $(x=0)\,$ لعدد صحيح غير سالب $\alpha \,$, وتتباعد عندما تقترب $x\,$ من الصفر لعدد صحيح غير سالب $\alpha \,$. يعرف نوع الحل (عدد صحيح أم غير صحيح مثلا) وانتظام $J_{\alpha }(x)\,$ بدلالة خواصه (انظر خواص دالة بسل). من الممكن تعريف الدالة من منشورها في متسلسلة تايلور حول $x=0\,$:

$J_{\alpha }(x)=\sum _{m=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{m}}{m!\Gamma (m+\alpha +1)}}{\left({\frac {x}{2}}\right)}^{2m+\alpha }$

حيث $\Gamma (z)\,$ هي دالة غاما، تعميم دالة المضروب للقيم الغير صحيحة. يبدو رسم دوال بسل شبيها بدوال الجيب وجيب التمام المتضائلة طرديا مع $1/{\sqrt {(}}x)$ مع أن جذورها ليست دورية عموما، سوى لقيم x التي يمكن مقاربتها. تشير متسلسلة تايلور إلى أن $-J_{1}(x)\,$ تمثل مشتقة $J_{0}(x)\,$, تماما مثل $-\sin(x)\,$ التي هي مشتقة $\cos(x)\,$; وبشكل عام يمكن التعبير عن المشتقة $J_{n}(x)\,$ بدلالة $J_{n\pm 1}(x)\,$ من مطابقات دوال بسل كما هو مبين في الأسفل.

مخطط دالة بسل من النوع الأول, J_α(x), لرتب صحيحة α=0,1,2.

للقيم الغير صحيحة α, تكون الدوال $J_{\alpha }(x)\,$ و$J_{-\alpha }(x)\,$ مستقلة خطيا, وتكون بالتالي الحلين العامين للمعادلة التفاضلية. من جهة أخرى، للأعداد الصحيحة $\alpha \,$, تكون العلاقة التالية صحيحة (لاحظ أن دالة غاما تصبح لانهائية لحجج الأعداد الصحيحة السالبة):

$J_{-n}(x)=(-1)^{n}J_{n}(x).\,$

هذا يعني أن الحلين لم يعودا مستقلين خطيا. في هذه الحالة يكون الحل الاخر المستقل خطيا يكون دوال بسل من النوع الثاني كما هو مناقش في الأسفل.

 تكاملات بسل

يمكن الحصول على تعريف اخر لدالة بسل، للقيم الصحيحة n، باستعمال الصورة التكاملية:

$J_{n}(x)={\frac {1}{\pi }}\int _{0}^{\pi }\cos(n\tau -x\sin \tau )\,\mathrm {d} \tau .$

لقد كانت هذه هي الطريقة التي استعملها بسل، ومن هذا التعريف اشتق بعض الخصائص. يمكن تعميم التعريف إلى الرتب الغير صحيحة بإضافة حد اخر

$J_{\alpha }(x)={\frac {1}{\pi }}\int _{0}^{\pi }\cos(\alpha \tau -x\sin \tau )d\tau -{\frac {\sin(\alpha \pi )}{\pi }}\int _{0}^{\infty }e^{-x\sinh(t)-\alpha t}dt.$

هنا صورة تكاملية أخرى:

$J_{n}(x)={\frac {1}{2\pi }}\int _{-\pi }^{\pi }e^{-\mathrm {i} \,(n\tau -x\sin \tau )}\,\mathrm {d} \tau .$

 دوال بسل الكروية : j _n, y _n

Spherical Bessel functions of 1st kind, j_n(x), for n = 0, 1, 2

Spherical Bessel functions of 2nd kind, y_n(x), for n = 0, 1, 2

عند حل معادلة هلمهولتس في إحداثيات كروية بفصل المتغيرات، فإن المعادلة القطرية تأخذ الشكل التالي:

$x^{2}{\frac {d^{2}y}{dx^{2}}}+2x{\frac {dy}{dx}}+[x^{2}-n(n+1)]y=0.$

The two linearly independent solutions to this equation are called the دوال بسل الكروية j_n and y_n, and are related to the ordinary Bessel functions J_n and Y_n by:

$j_{n}(x)={\sqrt {\frac {\pi }{2x}}}J_{n+1/2}(x),$

$y_{n}(x)={\sqrt {\frac {\pi }{2x}}}Y_{n+1/2}(x)=(-1)^{n+1}{\sqrt {\frac {\pi }{2x}}}J_{-n-1/2}(x).$

$y_{n}$ is also denoted $n_{n}$ or η_n; بعض المؤلفين يسمون تلك الدوال دوال نويمان الكروية.

 الدالة المولـِّدة

The spherical Bessel functions have the generating functions

${\frac {1}{z}}\cos {\sqrt {z^{2}-2zt}}=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {t^{n}}{n!}}j_{n-1}(z),$

${\frac {1}{z}}\sin {\sqrt {z^{2}+2zt}}=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-t)^{n}}{n!}}y_{n-1}(z).$

 علاقات تفاضلية

في المعادلة التالية، فإن $f_{n}$ التالية هي أي من $j_{n},y_{n},h_{n}^{(1)},h_{n}^{(2)}$ حيث $n=0,\pm 1,\pm 2,\dots$

$\left({\frac {1}{z}}{\frac {d}{dz}}\right)^{m}\left(z^{n+1}f_{n}(z)\right)=z^{(n-m)+1}f_{(n-m)}(z).$

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

 مطابقات مختارة

• $I_{-{\frac {1}{2}}}\left({\frac {z}{2}}\right)+I_{\frac {1}{2}}\left({\frac {z}{2}}\right)={\frac {2e^{\frac {z}{2}}}{\sqrt {\pi z}}};$
• $I_{\nu }(z)=\sum _{k=0}{\frac {z^{k}}{k!}}J_{\nu +k}(z);$
• $J_{\nu }(z)=\sum _{k=0}(-1)^{k}{\frac {z^{k}}{k!}}I_{\nu +k}(z);$
• $I_{\nu }(\lambda z)=\lambda ^{\nu }\sum _{k=0}{\frac {\left((\lambda ^{2}-1){\frac {z}{2}}\right)^{k}}{k!}}I_{\nu +k}(z);$
• $I_{\nu }(z_{1}+z_{2})=\sum _{k=-\infty }^{\infty }I_{\nu -k}(z_{1})I_{k}(z_{2});$
• $J_{\nu }(z)={\frac {z}{2\nu }}(J_{\nu -1}(z)+J_{\nu +1}(z)),\quad I_{\nu }(z)={\frac {z}{2\nu }}(I_{\nu -1}(z)-I_{\nu +1}(z));$
• $J_{\nu }'(z)={\frac {1}{2}}(J_{\nu -1}(z)-J_{\nu +1}(z)),\quad I_{\nu }'(z)={\frac {1}{2}}(I_{\nu -1}(z)+I_{\nu +1}(z));$
• $\left({\frac {x}{2}}\right)^{\nu }=\sum _{k=0}(-1)^{k}{\frac {\Gamma (k+\nu )}{k!}}(2k+\nu )I_{2k+\nu }(x).$

 انظر أيضاً

• Bessel–Clifford function
• عديدة حدود بسل
• Propagator
• Fourier–Bessel series
• Hahn–Exton q-Bessel function
• Jackson q-Bessel function
• Struve function
• دوال كلڤن
• Lommel functions
• Lommel polynomial
• Neumann polynomial
• Vibrations of a circular drum
• Wright generalized Bessel function

 المصادر

• قالب:Abramowitz Stegun ref2
• Arfken, George B. and Hans J. Weber, Mathematical Methods for Physicists, 6th edition (Harcourt: San Diego, 2005). ISBN 0-12-059876-0.
• Bayin, S.S. Mathematical Methods in Science and Engineering, Wiley, 2006, Chapter 6.
• Bayin, S.S., Essentials of Mathematical Methods in Science and Engineering, Wiley, 2008, Chapter 11.
• Bowman, Frank Introduction to Bessel Functions (Dover: New York, 1958). ISBN 0-486-60462-4.
• G. Mie, "Beiträge zur Optik trüber Medien, speziell kolloidaler Metallösungen", Ann. Phys. Leipzig 25 (1908), p. 377.
• B Spain, M.G. Smith, Functions of mathematical physics, Van Nostrand Reinhold Company, London, 1970. Chapter 9 deals with Bessel functions.
• Watson, G.N., A Treatise on the Theory of Bessel Functions, Second Edition, (1995) Cambridge University Press. ISBN 0-521-48391-3.