حسبان بمتعددات الحدود

في الرياضيات, تُعتبر متعددات الحدود من أبسط الدوال المستعملة في الحسبان. و تُعطى مشتقاتها و تكاملها الغير محدود بواسطة القوانين التالية:

${\displaystyle{\displaystyle\left(\sum_{k=0}^{n}a_{k}x^{k}\right)^{\prime}=\sum_{k=0}^{n}ka_{k}x^{k-1}}}$

و

${\displaystyle{\displaystyle\int\!\left(\sum_{k=0}^{n}a_{k}x^{k}\right)\,dx=\sum_{k=0}^{n}{\frac{a_{k}x^{k+1}}{k+1}}+C\,\!}}$.

لذلك, تكون مشتقة ${\displaystyle{\displaystyle x^{100}}}$ هي ${\displaystyle{\displaystyle 100x^{99}}}$ و التكامل الغير محدود للقيمة ${\displaystyle{\displaystyle x^{100}}}$ هو ${\displaystyle{\displaystyle{\frac{x^{101}}{101}}+C}}$ حيث أن C هو الثابت الكيفي للتكامل.

سنذكر في هذه المقالة قاعدة القوة power rule للتفاضل و برهانها, و من ثم سنستعملها لبرهنة الصيغتين الموجودتين في الأعلى.

 قاعدة القوة

تذكر قاعدة القوة للتفاضل بأنه إذا كان n هو عدد طبيعي, تكون مشتقة ${\displaystyle{\displaystyle f(x)=x^{n}\!}}$ هي ${\displaystyle{\displaystyle f^{\prime}(x)=nx^{n-1}\!}}$, و بالتالي تكون القاعدة هي

${\displaystyle{\displaystyle\left(x^{n}\right)^{\prime}=nx^{n-1}.}}$

و قاعدة القوة للتكامل هي

${\displaystyle{\displaystyle\int\!x^{n}\,dx={\frac{x^{n+1}}{n+1}}+C}}$

عندما يكون n عدد طبيعي, سيسهل لنا إستنتاج الإجابة. و يبقى على المرء فقط القيام بإشتقاق هذه المتباينة و إستعمال قاعدة القوة و التحويل الخطي للتفاضل على الجانب الأيمن من المعادلة.

 البرهان

لبرهنة قاعدة القوة للتفاضل, يجب إستعمال طريقة الإشتقاق كنهاية رياضياتية:

${\displaystyle{\displaystyle f^{\prime}(x)=\lim_{h\rightarrow 0}{\frac{f(x+h)-f(x)}{h}}.}}$

و عند تعويض ${\displaystyle{\displaystyle f(x)=x^{n}}}$ ستكون المعادلة على النحو التالي

${\displaystyle{\displaystyle f^{\prime}(x)=\lim_{h\rightarrow 0}{\frac{(x+h)^{n}-x^{n}}{h}}.}}$

ثم يمكن للمرء التعبير عن ${\displaystyle{\displaystyle(x+h)^{n}}}$ بإستعمال مبرهنة ثنائية الحد للحصول على

${\displaystyle{\displaystyle f^{\prime}(x)=\lim_{h\rightarrow 0}{\frac{\sum_{i=0}^{n}{{n\choose i}x^{i}h^{n-i}}-x^{n}}{h}}.}}$

يمكن كتابة الحد ${\displaystyle{\displaystyle i=n}}$ من المجموع في جهة مستقلة للحصول على

${\displaystyle{\displaystyle f^{\prime}(x)=\lim_{h\rightarrow 0}{\frac{\sum_{i=0}^{n-1}{{n\choose i}x^{i}h^{n-i}}+x^{n}-x^{n}}{h}}.}}$

و بسبب إلغاء قيم الحدود ${\displaystyle{\displaystyle x^{n}}}$ ستكون المعادلة

${\displaystyle{\displaystyle f^{\prime}(x)=\lim_{h\rightarrow 0}{\frac{\sum_{i=0}^{n-1}{{n\choose i}x^{i}h^{n-i}}}{h}}.}}$

و يمكن إخراج قيمة ${\displaystyle{\displaystyle h}}$ من جميع الحدود من المجموع للحصول على

${\displaystyle{\displaystyle f^{\prime}(x)=\lim_{h\rightarrow 0}{\frac{h\sum_{i=0}^{n-1}{{n\choose i}x^{i}h^{n-i-1}}}{h}}.}}$

و بذلك يمكننا إلغاء قيم ${\displaystyle{\displaystyle h}}$ من المقام و الحصول على

${\displaystyle{\displaystyle f^{\prime}(x)=\lim_{h\rightarrow 0}\sum_{i=0}^{n-1}{{n\choose i}x^{i}h^{n-i-1}}.}}$

و لإيجاد قيمة هذه النهاية نلاحظ بأن ${\displaystyle{\displaystyle n-i-1>0}}$ لكل ${\displaystyle{\displaystyle i<n-1}}$ و تساوي صفر لكل${\displaystyle{\displaystyle i=n-1.}}$ لذلك نجد قيمة ${\displaystyle{\displaystyle h^{0}}}$ فقط عندما يكون ${\displaystyle{\displaystyle i=n-1}}$, و بالتالي تكون المعادلة

${\displaystyle{\displaystyle f^{\prime}(x)={n\choose{n-1}}x^{n-1}.}}$

و بإيجاد قيمة المعامل الثنائي الحد سنجد هذه المعادلة

${\displaystyle{\displaystyle{n\choose{n-1}}={\frac{n!}{(n-1)!\ 1!}}={\frac{n\ (n-1)!}{(n-1)!}}=n.}}$

و بالتالي هذه المعادلة

${\displaystyle{\displaystyle f^{\prime}(x)=nx^{n-1}.\!}}$

 تفاضل متعددات الحدود الكيفية

لمفاضلة متعددات الحدود الكيفية, يمكن للمرء إستعمال الخاصية الخطية للمؤثر التفاضلي differential operator للحصول على:

${\displaystyle{\displaystyle\left(\sum_{r=0}^{n}a_{r}x^{r}\right)^{\prime}=\sum_{r=0}^{n}\left(a_{r}x^{r}\right)^{\prime}=\sum_{r=0}^{n}a_{r}\left(x^{r}\right)^{\prime}=\sum_{r=0}^{n}ra_{r}x^{r-1}.}}$

و بإستعمال التحويل الخطي للتكامل و قاعدة القوة للتكامل, و بإستعمال نفس الخطوات, سنجد المعادلة على النحو التالي

${\displaystyle{\displaystyle\int\!\left(\sum_{k=0}^{n}a_{k}x^{k}\right)\,dx=\sum_{k=0}^{n}{\frac{a_{k}x^{k+1}}{k+1}}+c.}}$

 تعميم

يمكن للمرء بأن يبرهن بأن قاعدة القوة تكون صحيحة عند أي أس حقيقي, و المعادلة هي

${\displaystyle{\displaystyle\left(x^{a}\right)^{\prime}=ax^{a-1}}}$

عندما تكون قيمة a أي عدد حقيقي ما دام أن قيم x من مجال الدوال لكلا الجانبين من المعادلة. و بإستعمال هذه الصيغة, مع

${\displaystyle{\displaystyle\int\!x^{-1}\,dx=\ln x+c,}}$

سيستطيع المرء القيام بمفاضلة و مكاملة التركيبات الخطية لقوى القيمة x, و التي ليست بالضرورة أن تكون متعددة الحدود.

 المراجع

• Larson, Ron; Hostetler, Robert P.; and Edwards, Bruce H. (2003). Calculus of a Single Variable: Early Transcendental Functions (3rd edition). Houghton Mifflin Company. ISBN 0-618-22307-X.