في الرياضيات , تُعتبر متعددات الحدود من أبسط الدوال المستعملة في الحسبان . و تُعطى مشتقاتها و تكاملها الغير محدود بواسطة القوانين التالية:
(
∑
k
=
0
n
a
k
x
k
)
′
=
∑
k
=
0
n
k
a
k
x
k
−
1
{\displaystyle \left(\sum _{k=0}^{n}a_{k}x^{k}\right)'=\sum _{k=0}^{n}ka_{k}x^{k-1}}
و
∫
(
∑
k
=
0
n
a
k
x
k
)
d
x
=
∑
k
=
0
n
a
k
x
k
+
1
k
+
1
+
C
{\displaystyle \int \!\left(\sum _{k=0}^{n}a_{k}x^{k}\right)\,dx=\sum _{k=0}^{n}{\frac {a_{k}x^{k+1}}{k+1}}+C\,\!}
لذلك, تكون مشتقة
x
100
{\displaystyle x^{100}}
100
x
99
{\displaystyle 100x^{99}}
التكامل الغير محدود للقيمة
x
100
{\displaystyle x^{100}}
x
101
101
+
C
{\displaystyle {\frac {x^{101}}{101}}+C}
الثابت الكيفي للتكامل .
سنذكر في هذه المقالة قاعدة القوة power rule للتفاضل و برهانها, و من ثم سنستعملها لبرهنة الصيغتين الموجودتين في الأعلى.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
قاعدة القوة تذكر قاعدة القوة للتفاضل بأنه إذا كان n هو عدد طبيعي , تكون مشتقة
f
(
x
)
=
x
n
{\displaystyle f(x)=x^{n}\!}
f
′
(
x
)
=
n
x
n
−
1
{\displaystyle f'(x)=nx^{n-1}\!}
(
x
n
)
′
=
n
x
n
−
1
.
{\displaystyle \left(x^{n}\right)'=nx^{n-1}.}
و قاعدة القوة للتكامل هي
∫
x
n
d
x
=
x
n
+
1
n
+
1
+
C
{\displaystyle \int \!x^{n}\,dx={\frac {x^{n+1}}{n+1}}+C}
عندما يكون n عدد طبيعي, سيسهل لنا إستنتاج الإجابة. و يبقى على المرء فقط القيام بإشتقاق هذه المتباينة و إستعمال قاعدة القوة و التحويل الخطي للتفاضل على الجانب الأيمن من المعادلة.
البرهان لبرهنة قاعدة القوة للتفاضل, يجب إستعمال طريقة الإشتقاق كنهاية رياضياتية :
f
′
(
x
)
=
lim
h
→
0
f
(
x
+
h
)
−
f
(
x
)
h
.
{\displaystyle f'(x)=\lim _{h\rightarrow 0}{\frac {f(x+h)-f(x)}{h}}.}
و عند تعويض
f
(
x
)
=
x
n
{\displaystyle f(x)=x^{n}}
f
′
(
x
)
=
lim
h
→
0
(
x
+
h
)
n
−
x
n
h
.
{\displaystyle f'(x)=\lim _{h\rightarrow 0}{\frac {(x+h)^{n}-x^{n}}{h}}.}
ثم يمكن للمرء التعبير عن
(
x
+
h
)
n
{\displaystyle (x+h)^{n}}
مبرهنة ثنائية الحد للحصول على
f
′
(
x
)
=
lim
h
→
0
∑
i
=
0
n
(
n
i
)
x
i
h
n
−
i
−
x
n
h
.
{\displaystyle f'(x)=\lim _{h\rightarrow 0}{\frac {\sum _{i=0}^{n}{{n \choose i}x^{i}h^{n-i}}-x^{n}}{h}}.}
يمكن كتابة الحد
i
=
n
{\displaystyle i=n}
f
′
(
x
)
=
lim
h
→
0
∑
i
=
0
n
−
1
(
n
i
)
x
i
h
n
−
i
+
x
n
−
x
n
h
.
{\displaystyle f'(x)=\lim _{h\rightarrow 0}{\frac {\sum _{i=0}^{n-1}{{n \choose i}x^{i}h^{n-i}}+x^{n}-x^{n}}{h}}.}
و بسبب إلغاء قيم الحدود
x
n
{\displaystyle x^{n}}
f
′
(
x
)
=
lim
h
→
0
∑
i
=
0
n
−
1
(
n
i
)
x
i
h
n
−
i
h
.
{\displaystyle f'(x)=\lim _{h\rightarrow 0}{\frac {\sum _{i=0}^{n-1}{{n \choose i}x^{i}h^{n-i}}}{h}}.}
و يمكن إخراج قيمة
h
{\displaystyle h}
f
′
(
x
)
=
lim
h
→
0
h
∑
i
=
0
n
−
1
(
n
i
)
x
i
h
n
−
i
−
1
h
.
{\displaystyle f'(x)=\lim _{h\rightarrow 0}{\frac {h\sum _{i=0}^{n-1}{{n \choose i}x^{i}h^{n-i-1}}}{h}}.}
و بذلك يمكننا إلغاء قيم
h
{\displaystyle h}
f
′
(
x
)
=
lim
h
→
0
∑
i
=
0
n
−
1
(
n
i
)
x
i
h
n
−
i
−
1
.
{\displaystyle f'(x)=\lim _{h\rightarrow 0}\sum _{i=0}^{n-1}{{n \choose i}x^{i}h^{n-i-1}}.}
و لإيجاد قيمة هذه النهاية نلاحظ بأن
n
−
i
−
1
>
0
{\displaystyle n-i-1>0}
i
<
n
−
1
{\displaystyle i<n-1}
i
=
n
−
1.
{\displaystyle i=n-1.}
h
0
{\displaystyle h^{0}}
i
=
n
−
1
{\displaystyle i=n-1}
f
′
(
x
)
=
(
n
n
−
1
)
x
n
−
1
.
{\displaystyle f'(x)={n \choose {n-1}}x^{n-1}.}
و بإيجاد قيمة المعامل الثنائي الحد سنجد هذه المعادلة
(
n
n
−
1
)
=
n
!
(
n
−
1
)
!
1
!
=
n
(
n
−
1
)
!
(
n
−
1
)
!
=
n
.
{\displaystyle {n \choose {n-1}}={\frac {n!}{(n-1)!\ 1!}}={\frac {n\ (n-1)!}{(n-1)!}}=n.}
و بالتالي هذه المعادلة
f
′
(
x
)
=
n
x
n
−
1
.
{\displaystyle f'(x)=nx^{n-1}.\!}
تفاضل متعددات الحدود الكيفية لمفاضلة متعددات الحدود الكيفية, يمكن للمرء إستعمال الخاصية الخطية للمؤثر التفاضلي differential operator للحصول على:
(
∑
r
=
0
n
a
r
x
r
)
′
=
∑
r
=
0
n
(
a
r
x
r
)
′
=
∑
r
=
0
n
a
r
(
x
r
)
′
=
∑
r
=
0
n
r
a
r
x
r
−
1
.
{\displaystyle \left(\sum _{r=0}^{n}a_{r}x^{r}\right)'=\sum _{r=0}^{n}\left(a_{r}x^{r}\right)'=\sum _{r=0}^{n}a_{r}\left(x^{r}\right)'=\sum _{r=0}^{n}ra_{r}x^{r-1}.}
و بإستعمال التحويل الخطي للتكامل و قاعدة القوة للتكامل, و بإستعمال نفس الخطوات, سنجد المعادلة على النحو التالي
∫
(
∑
k
=
0
n
a
k
x
k
)
d
x
=
∑
k
=
0
n
a
k
x
k
+
1
k
+
1
+
c
.
{\displaystyle \int \!\left(\sum _{k=0}^{n}a_{k}x^{k}\right)\,dx=\sum _{k=0}^{n}{\frac {a_{k}x^{k+1}}{k+1}}+c.}
تعميم يمكن للمرء بأن يبرهن بأن قاعدة القوة تكون صحيحة عند أي أس حقيقي , و المعادلة هي
(
x
a
)
′
=
a
x
a
−
1
{\displaystyle \left(x^{a}\right)'=ax^{a-1}}
عندما تكون قيمة a أي عدد حقيقي ما دام أن قيم x من مجال الدوال لكلا الجانبين من المعادلة. و بإستعمال هذه الصيغة, مع
∫
x
−
1
d
x
=
ln
x
+
c
,
{\displaystyle \int \!x^{-1}\,dx=\ln x+c,}
سيستطيع المرء القيام بمفاضلة و مكاملة التركيبات الخطية لقوى القيمة x , و التي ليست بالضرورة أن تكون متعددة الحدود.
المراجع Larson, Ron; Hostetler, Robert P.; and Edwards, Bruce H. (2003). Calculus of a Single Variable: Early Transcendental Functions (3rd edition). Houghton Mifflin Company. ISBN 0-618-22307-X.
