تركيب بلوري

البنية البلورية لملح الطعام (الصوديوم بالبنفسجيـ والكلوريد بالأخضر)

بلورات إنرگيت

في علم الفلزات وعلم البلورات crystallography, التركيب البلوري crystal structure هو ترتيب فريد للذرات في بلورة. والتركيب البلوري يتكون من motif, وهو مجموعة من الذرات مرتبة بشكل معين ، وعقد. وتتواجد الأنماط المتكررة عند نقاط العـُقـْد، التي هي مصفوفة من النقاط التي تتكرر دورياً في الأبعاد الثلاثة. ويمكن التفكير في تلك النقاط على أنها تشكل صناديق صغيرة متشابهة، تسمى خلايا الوحدة، تملأ فراغ العقد. أطوال حواف الخلية الوحدة والزوايا بينهم يسمون متغيرات العقد. خصائص تماثل البلورة تتجسد في مجموعة فراغية. تلعب بنية البلورة وتماثلها دوراً في تحديد العديد من خصائصها، مثل cleavage، بنية الحزمة الإلكترونية، والخصائص البصرية.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

 الخلية الوحدة

المقالة الرئيسية: الخلية الوحدة

Crystal structure is described in terms of the geometry of arrangement of particles in the unit cell. The unit cell is defined as the smallest repeating unit having the full symmetry of the crystal structure. The geometry of the unit cell is defined as a parallelepiped, providing six lattice parameters taken as the lengths of the cell edges (a, b, c) and the angles between them (α, β, γ). The positions of particles inside the unit cell are described by the fractional coordinates (x_i, y_i, z_i) along the cell edges, measured from a reference point. It is only necessary to report the coordinates of a smallest asymmetric subset of particles. This group of particles may be chosen so that it occupies the smallest physical space, which means that not all particles need to be physically located inside the boundaries given by the lattice parameters. All other particles of the unit cell are generated by the symmetry operations that characterize the symmetry of the unit cell. The collection of symmetry operations of the unit cell is expressed formally as the space group of the crystal structure.

• 

  Simple cubic (P)

• 

  Body-centered cubic (I)

• 

  Face-centered cubic (F)

 مؤشرات ميلر

Planes with different Miller indices in cubic crystals

Vectors and planes in a crystal lattice are described by the three-value Miller index notation. This syntax uses the indices ℓ, m, and n as directional parameters.

By definition, the syntax (ℓmn) denotes a plane that intercepts the three points a₁/ℓ, a₂/m, and a₃/n, or some multiple thereof. That is, the Miller indices are proportional to the inverses of the intercepts of the plane with the unit cell (in the basis of the lattice vectors). If one or more of the indices is zero, it means that the planes do not intersect that axis (i.e., the intercept is "at infinity"). A plane containing a coordinate axis is translated so that it no longer contains that axis before its Miller indices are determined. The Miller indices for a plane are integers with no common factors. Negative indices are indicated with horizontal bars, as in (1قالب:Overbar3). In an orthogonal coordinate system for a cubic cell, the Miller indices of a plane are the Cartesian components of a vector normal to the plane.

Considering only (ℓmn) planes intersecting one or more lattice points (the lattice planes), the distance d between adjacent lattice planes is related to the (shortest) reciprocal lattice vector orthogonal to the planes by the formula

$d={\frac {2\pi }{|\mathbf {g} _{\ell mn}|}}$

 المستويات والاتجاهات

The crystallographic directions are geometric lines linking nodes (atoms, ions or molecules) of a crystal. Likewise, the crystallographic planes are geometric planes linking nodes. Some directions and planes have a higher density of nodes. These high density planes have an influence on the behavior of the crystal as follows:

• Optical properties: Refractive index is directly related to density (or periodic density fluctuations).
• Adsorption and reactivity: Physical adsorption and chemical reactions occur at or near surface atoms or molecules. These phenomena are thus sensitive to the density of nodes.
• Surface tension: The condensation of a material means that the atoms, ions or molecules are more stable if they are surrounded by other similar species. The surface tension of an interface thus varies according to the density on the surface.

Dense crystallographic planes

• Microstructural defects: Pores and crystallites tend to have straight grain boundaries following higher density planes.
• Cleavage: This typically occurs preferentially parallel to higher density planes.
• Plastic deformation: Dislocation glide occurs preferentially parallel to higher density planes. The perturbation carried by the dislocation (Burgers vector) is along a dense direction. The shift of one node in a more dense direction requires a lesser distortion of the crystal lattice.

Some directions and planes are defined by symmetry of the crystal system. In monoclinic, rhombohedral, tetragonal, and trigonal/hexagonal systems there is one unique axis (sometimes called the principal axis) which has higher rotational symmetry than the other two axes. The basal plane is the plane perpendicular to the principal axis in these crystal systems. For triclinic, orthorhombic, and cubic crystal systems the axis designation is arbitrary and there is no principal axis.

 البنى المكعبة

For the special case of simple cubic crystals, the lattice vectors are orthogonal and of equal length (usually denoted a); similarly for the reciprocal lattice. So, in this common case, the Miller indices (ℓmn) and [ℓmn] both simply denote normals/directions in Cartesian coordinates. For cubic crystals with lattice constant a, the spacing d between adjacent (ℓmn) lattice planes is (from above):

$d_{\ell mn}={\frac {a}{\sqrt {\ell ^{2}+m^{2}+n^{2}}}}$

Because of the symmetry of cubic crystals, it is possible to change the place and sign of the integers and have equivalent directions and planes:

• Coordinates in angle brackets such as ⟨100⟩ denote a family of directions that are equivalent due to symmetry operations, such as [100], [010], [001] or the negative of any of those directions.
• Coordinates in curly brackets or braces such as {100} denote a family of plane normals that are equivalent due to symmetry operations, much the way angle brackets denote a family of directions.

For face-centered cubic (fcc) and body-centered cubic (bcc) lattices, the primitive lattice vectors are not orthogonal. However, in these cases the Miller indices are conventionally defined relative to the lattice vectors of the cubic supercell and hence are again simply the Cartesian directions.

 Interplanar spacing

The spacing d between adjacent (hkℓ) lattice planes is given by:

• المكعبة:

  ${\frac {1}{d^{2}}}={\frac {h^{2}+k^{2}+\ell ^{2}}{a^{2}}}$

• Tetragonal:

  ${\frac {1}{d^{2}}}={\frac {h^{2}+k^{2}}{a^{2}}}+{\frac {\ell ^{2}}{c^{2}}}$

• Hexagonal:

  ${\frac {1}{d^{2}}}={\frac {4}{3}}\left({\frac {h^{2}+hk+k^{2}}{a^{2}}}\right)+{\frac {\ell ^{2}}{c^{2}}}$

• Rhombohedral/Trigonal:

  ${\frac {1}{d^{2}}}={\frac {(h^{2}+k^{2}+\ell ^{2})\sin ^{2}\alpha +2(hk+k\ell +h\ell )(\cos ^{2}\alpha -\cos \alpha )}{a^{2}(1-3\cos ^{2}\alpha +2\cos ^{3}\alpha )}}$

• Orthorhombic:

  ${\frac {1}{d^{2}}}={\frac {h^{2}}{a^{2}}}+{\frac {k^{2}}{b^{2}}}+{\frac {\ell ^{2}}{c^{2}}}$

• Monoclinic:

  ${\frac {1}{d^{2}}}=\left({\frac {h^{2}}{a^{2}}}+{\frac {k^{2}\sin ^{2}\beta }{b^{2}}}+{\frac {\ell ^{2}}{c^{2}}}-{\frac {2h\ell \cos \beta }{ac}}\right)\csc ^{2}\beta$

• Triclinic:

  ${\frac {1}{d^{2}}}={\frac {{\frac {h^{2}}{a^{2}}}\sin ^{2}\alpha +{\frac {k^{2}}{b^{2}}}\sin ^{2}\beta +{\frac {\ell ^{2}}{c^{2}}}\sin ^{2}\gamma +{\frac {2k\ell }{bc}}(\cos \beta \cos \gamma -\cos \alpha )+{\frac {2h\ell }{ac}}(\cos \gamma \cos \alpha -\cos \beta )+{\frac {2hk}{ab}}(\cos \alpha \cos \beta -\cos \gamma )}{1-\cos ^{2}\alpha -\cos ^{2}\beta -\cos ^{2}\gamma +2\cos \alpha \cos \beta \cos \gamma }}$

 تصنيف البلورات حسب التماثل

 عناصر التماثل Element of Symmetry

من الظواهر الملحوظة على كثير من البلورات ظاهرة التوزيع المنظم والمرتب للأوجه البلورية. فإننا نجد أن جميع الأوجه البلورية وكذلك الذرات والأيونات المكونة للمادة مرتبة حسب نظام خاص وتنسيق معين يخضع لقواعد معينة معروفة باسم عناصر التماثل. وجوهر التماثل هو التكرار. فنلاحظ أن وجه البلورة مثلا أو أحد أحرفها يتكرر عدة مرات – أي يوجد في أماكن متماثلة عددا من المرات – طبقا لقانون ثابت. ويعتبر التماثل أساسا في دارسة البلورات.

ويمكن تعريف التماثل في بلورة ما بأنه عبارة عن العمليات التي ينتج عنها أن تأخذ مجموعة معينة من الأوجه البلورية نفس المكان الذي تشغله إحداها. والعمليات التماثلية المعروفة هي:

1- دوران حول محور (محور التماثل الدوراني).

2- انعكاس خلال مستوى (مستوى التماثل).

3- انقلاب حول مركز (مركز التماثل).

4- دوران حول محور مصحوبا بانقلاب (محور التماثل الانقلابي).

ويعرف المحور والمستوى باسم عناصر التماثل.

 محور التماثل الدوراني Rotation axis of symmetry

وهو عبارة عن الخط الذي يمر بمركز البلورة والذي تدور أو تلف حوله البلورة وينتج عن هذا أن يتكرر وضع البلورة. أي ظهور وجه أو حرف ما مرتين أو أكثر ومتخذا في كل مرة وضعها مشابها للموضع الاول خلال دورة كاملة (أي 360 درجة) ، أشكل (16 ، 17 ، 18 ، 19).

ويطلق على المحور اسم ثنائي التماثل أو ثلاثي التماثل أو رباعي التماثل أو سداسي التماثل ، حسب عدد المرات التي يظهر فيها الوجه على البلورة في الدورة الكاملة. ففي حالة المحور ثنائي التماثل ، شكل (16) يظهر الوجه كل 180 درجة. ويتكرر وضع البلورة مرتين في 360 درجة. وفي حالة المحور ثلاثي التماثل ، شكل (17) يظهر الوجه كل 120 درجة ، ويتكرر وضع شكل (18) ، فإن الوجه يظهر كل 90 درجة ، ويتكرر وضع البلورة أربع مرات خلال 360 درجة. وفي حالة المحور سداسي التماثل ، شكل (19) ، يظهر الوجه مرة كل 60 درجة ، ويتكرر وضع البلورة ست مرات في الدورة الكاملة. ويرمز للمحاور التماثلية بالرموز الآتية: 2 ، 3 ، 4 ، 6 ، كما تيبن الأشكال بالصور التالي: (يوجد رموز مرسومة).

وقد يتساءل سائل لماذا لا يوجد محور خماسي التماثل أو سباعي التماثل أو أكبر من ذلك؟ والإجابة على ذلك بسيطة إذا علمنا أن الوحدة البنائية ذات التماثل البلوري يجب أن تكون قادرة على التكرار في الفراغ دون أن تترك أي فجوات أو مسافات. فالأشكال الثنائية التماثل وكذلك الثلاثية والرباعية والسداسية تتكرر لمتلأ الفراغ دون أن تترك أي فجوات أو مسافة بينية ، شكل (20- أ ، ب ، ج ، د ، و) ، بينما تترك الأشكال الخماسية والسباعية والثمانية التماثل شكل (20- هـ ، ر ، ع) مسافات وفجوات (مظللة على الرسم) ،وهذا لا يتفق مع الترتيب المنتظم في الفراغ للوحدات البنائية في الأبعاد الثلاثة.

2- مستوى التماثل Plan of symmetry وهو المستوى الذي يقسم البلورة إلى نصفين متشابهين بحيث إذا وضعنا أحد النصفين أمام مرآة فإن الصورة الناتجة تنطبق تماما على النصف الآخر للبلورة ورمز لمستوى التماثل برمز "م" ( من كلمة مرآة) شكل (21).

3- مركز التماثل Center of symmetry تحتوي البلورة على لمركز تماثل اذا قابل الخط المار بالمركز من أي نقطة على سطح البلورة نقطة مشابهة لها تماما على الجزء المقابل . أو بمعنى آخر إذا وجد لكل وجه بلوري أو حرف في ناحية من مركز البلورة وجه بلوري مشابه أو حرف في الناحية المقابلة الأخرى من مركز البلورة وعلى مسافة مساوية ، فإن هذه البلورة تحتوي على مركز تماثل شكل (22). ويرمز لمركز التماثل بالرمو "ن" ، (نقطة لاتماثل الداخلية) . والبلورة إما أن تحتوي على مركز تماثل واحد فقط أو لا تحتوي على مركز تماثل بالمرة.

4- محور التماثل الانقلابي Inversion axis symmetry يجمع هذا العنصر التماثلي بين محور التماثل الدوراني والانقلابي عبر مركز البلورة. ويجب اتمام العمليتين قبل الحصول على موقع التكرار الجديد. فإذا كان يوجد بالبلورة مركز تماثل فإنه يرمز له عادة برمز محور الإنقلاب أحادي التماثل (أ) ، إذ أ، هذا يكافئ دوران نقطة على البلورة دوة كاملة (360 درجة) ثم تكرارها بإنقلابها عبر المركز في الجهة المقابلة لهذه لانقطة على البلورة. وهناك أيضا محاور انقلابية ثنائية وثلاثية ، ورباعية وسداسية التماثل. والآن لنتقهم كيف يعمل محور التماثل الانقلابي ، وليكن مثلا محور انقلابي رباعي التماثل. في حالة محور الدوران الراعي التماثل (شكل-18) ، نلاحظ أن تكرار أربع نقاط (أو أركان) – تبعد الواحدة منها عن الأخرى 90 درجة – يحدث جميعه إما على الجزء الأعلى من البلورة أو على الجزء الأسفل للبلورة . أما في عملية المحور الانقلابي الرباعي التماثل ، فإن النقاط (أو الأركان الأربع سوف تتكرر أيضا كل 90 درجة ، ولكن اثتنتين منها توجد أعلى البلورة ، بينما توجد النقطتان الآخريان أسفل البلورة ، شكل (23). إن عمل مثل هذا المحور الانقلابي التماثل يشمل أربعة دورانات كل 90 درجة ، ويلي ذلك إذا كانت النقطة الأولى في الجزء الأعلى من البلورة ، كانت النقطة الثانية في الجزء الأسفل للبلورة ، والثالثة في الجزء الأعلى والرابعة في الجزء الأسفل. ويرمز للمحاور الانقلابية أحادية ، وثنائية ، وثلاثية ، ورباعية وسداسية التماثل بالرموز التالية على التوالي: 1 ، 2 ، 3 ، 4 ، 6

واذا فحصنا الأشكال السابقة ، (16) إلى (19) ، شكل (21) بشئ من الدقة والتفصيل ، فإننا نلاحظ أن كلا من هذه البلورات المرسومة تحتوي أكثر من عنصر التماثل المبين في الشكل. فالبلورة المبينة في شكل (16) مثلا تحتوي على محورين آخرين ثنائي التماثل ، كما تحتوي على ثلاثة مستويات تماثلية وتحتوي أيضا على مركز تماثل ، بينما البلورة المبينة في شكل (21) تحتوي على محور ثنائي التماثل عمودي على مستوى التماثل الموضح ، وكذلك تحتوي على مركز تماثل. أما البلورة المبينة في شكل (22) ، فإنها لا تحتوي سوى مركز التماثل المبين بها. وأكبر عدد من عناصر التماثل يمكن أن يوجد في بلورة واحدة هو 23 ، كما سنرى بعد ، أما أقل عدد ، فهناك بلورات لا تحتوي على عناصر تماثل بالمرة.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

 قانون التماثل Symmetry formula

يمكن كتابة عناصر التماثل في البلورة في هيئة قانون يعرف باسم قانون التماثل الكامل Complete Symmetry formula ، وذلك باستعمال الرموز التماثلية وهي: 2 ، 3 ، 4 ، 6 ، للمحاول الدورانية الثنائية والثلاثية والرباعية والسداسية التماثل على التوالي و 1 ، 2 ، 3 ، 4 ، 6 للمحاور الانقلابية الأحادية والثنائية والثلاثية والرباعية والسداسية التماثل على التوالي ن م لمستوى التماثل ، ن لمركز التماثل. فاذا وجد محور دوران تماثلي عموديا على مستوى تماثل فإن القانون يكتب هكذا 2/م أو 3/م ، الخ ... حسب درجة المحور التماثل ، ويقرأ اثنين على ميم ، وثلاثة على ميم ، الخ .. أما إذا كان المحور التماثلي يمر في المستوى التماثلي وليس عموديا عليه ، فإن القانون يكتب 2م أو 3 م الخ .. حسب درجة المحور التماثلي. أما في حالة وجود مستويان تماثليان أحدهما عمودي على المحور التماثلي والآخر يمر بالمحور فإن القانون يكتب 2/م م أو 3/م م ، الخ. وفي حالة وجود أكثر من محور تماثل واحد أو مستوى تماثل واحد فإن عدد المحاور أو المستويات يكتب في لاركب الأعلى الشمالي لرمز المحور أو المستوى هكذا 32 ، م3 ، 4/م 3 أي ثلاثة محاور ثنائية التماثل ، ثلاث مستويات تماثلية ، ثلاثة محاور رباعية التماثل عمودية على ثلاث مستويات تماثلية ، على التوالي ( لاحظ أن القانون الأخير لا يعني ثلاثة محاول رباعية التماثل عمودية على مستوى تماثل واحد ، إذ أن 4/م تدل على مجموعة غير مجزأة).

 فصائل البلورات السبعة

تتبع البلورات سبعة أقسام تعرف باسم الفصائل البلورية السبعة، يمكن التعرف عليها على أساس المحاول التماثلية الموجودة كما يلي:

1 – فصيلة المكعب (أو متساوي الأطوال) وتشمل جميع البلورات التي تحتوي على أربعة محاور ثلاثية التماثل.

2- فصيلة السدساسي ، وتشمل جميع البلورات التي تحتوي على محور واحد سداسي التماثل فقط.

3- فصيلة الرباعي ، وتشمل جميع البلورات التي تحتوي على محور رباعي التماثل فقط.

4- فصيلة الثلاثي ، وتشمل جميع البلورات التي تحتوي على محور واحد ثلاثي التماثل فقط.

5 – فصيلة المعيني القائم ، وتشمل جميع البلورات التي تحتوي على ثلاثة محاور ثنائية التماثل.

6- فصيلة الميل الواحد ، وتشمل جميع البلورات التي تحتوي على محور واحد ثنائي التماثل فقط.

7- فصيلة الميول الثلاثة ، وبلوراتها لا تحتوي على آية محاور تماثلية.

Crystal family	Lattice system	Point group (Schönflies notation)	14 Bravais lattices
			Primitive (P)	Base-centered (S)	Body-centered (I)	Face-centered (F)
Triclinic (a)		Ci	aP
Monoclinic (m)		C2h	mP	mS
Orthorhombic (o)		D2h	oP	oS	oI	oF
Tetragonal (t)		D4h	tP		tI
Hexagonal (h)	Rhombohedral	D3d	hR
	Hexagonal	D6h	hP
Cubic (c)		Oh	cP		cI	cF

وتضم كل فصيلة من هذه الفصائل السبعة عددا من المجموعات التماثلية ، أو ما يعرف باسم النظم البلورية (اثنين في فصيلة الميول الثلاثة ، وثلاثة في كل من فصيلتي الميل الواحد والمعيني القائم ، خمسة في كل من فصيلتي الثلاثي والمكعب ، سبعة في كل من فصيلتي الرباعي والسداسي) وتحتوي على المميزات التماثلية للفصيلة التي تتبعها ، فمثلا ، قد تحتوي بلورة تابعة لفصيلة الثلاثي على محور دوران ثلاثي التماثل فقط ، أو على محور انقلابي ثلاثي التماثل ، أو على مجموعة من محور واحد ثلاثي التماثل ، وثلاثة محاور ثنائية التماثل ، أو ثلاثة مستويات تماثل ، أو كليهما. معنى ذلك أن فصيلة الثلاثي تضم خمسة نظم بلورية. وعلى هذا الأساس وجد أن الفصائل البلورية لاسبعة تضم 32 نظاما بلوريا ، وفي كل فصيلة يوجد نظام واحد يحتوي على أعلى تماثل بين النظم التابعة لهذه الفصيلة. ويعرف هذا النظام باسم النظام الكامل التماثل.

وسوف نكتفي في مناقشاتنا الحالية بدراسة النظام الكامل التماثل في كل فصيلة بالتفصيل ، أما النظم الأقل تماثلاً في كل فصيلة فسوف نشير إليها في أول الحديث عن الفصيلة. ويجدر بنا أن نشير في هذا المقام إلى أن بعض المؤلفين في بعض الدول يعتبرون فصيلة الثلاثي قسما تابعا لفصيلة السداسي ، وهذا يعني ستة فصائل بلورية فقط ، ولكن العدد الكلي لمجموعات التماثل المختلفة (النظم البلورية) موزعة على هذه الفصائل الستة بعينة نفس العدد (32) الذي يضمه التصنيف إلى سبعة فصائل.

 أعقاد براڤيه الأربعة عشر

Bravais lattices, also referred to as space lattices, describe the geometric arrangement of the lattice points, and therefore the translational symmetry of the crystal. The three dimensions of space afford 14 distinct Bravais lattices describing the translational symmetry. All crystalline materials recognized today, not including quasicrystals, fit in one of these arrangements. The fourteen three-dimensional lattices, classified by lattice system, are shown above.

The crystal structure consists of the same group of atoms, the basis, positioned around each and every lattice point. This group of atoms therefore repeats indefinitely in three dimensions according to the arrangement of one of the Bravais lattices. The characteristic rotation and mirror symmetries of the unit cell is described by its crystallographic point group.

 الأنظمة البلورية: المجموعات النقطية الاثنان وثلاثون

انظر أيضاً: Crystallographic point group § Isomorphisms

A crystal system is a set of point groups in which the point groups themselves and their corresponding space groups are assigned to a lattice system. Of the 32 point groups that exist in three dimensions, most are assigned to only one lattice system, in which case the crystal system and lattice system both have the same name. However, five point groups are assigned to two lattice systems, rhombohedral and hexagonal, because both lattice systems exhibit threefold rotational symmetry. These point groups are assigned to the trigonal crystal system.

Crystal family	Crystal system	Point group / Crystal class	Schönflies	Point symmetry	Order	Abstract group
triclinic		pedial	C1	enantiomorphic polar	1	trivial $\mathbb {Z} _{1}$
		pinacoidal	Ci (S2)	centrosymmetric	2	cyclic $\mathbb {Z} _{2}$
monoclinic		sphenoidal	C2	enantiomorphic polar	2	cyclic $\mathbb {Z} _{2}$
		domatic	Cs (C1h)	polar	2	cyclic $\mathbb {Z} _{2}$
		prismatic	C2h	centrosymmetric	4	Klein four $\mathbb {V} =\mathbb {Z} _{2}\times \mathbb {Z} _{2}$
orthorhombic		rhombic-disphenoidal	D2 (V)	enantiomorphic	4	Klein four $\mathbb {V} =\mathbb {Z} _{2}\times \mathbb {Z} _{2}$
		rhombic-pyramidal	C2v	polar	4	Klein four $\mathbb {V} =\mathbb {Z} _{2}\times \mathbb {Z} _{2}$
		rhombic-dipyramidal	D2h (Vh)	centrosymmetric	8	$\mathbb {V} \times \mathbb {Z} _{2}$
tetragonal		tetragonal-pyramidal	C4	enantiomorphic polar	4	cyclic $\mathbb {Z} _{4}$
		tetragonal-disphenoidal	S4	non-centrosymmetric	4	cyclic $\mathbb {Z} _{4}$
		tetragonal-dipyramidal	C4h	centrosymmetric	8	$\mathbb {Z} _{4}\times \mathbb {Z} _{2}$
		tetragonal-trapezohedral	D4	enantiomorphic	8	dihedral $\mathbb {D} _{8}=\mathbb {Z} _{4}\rtimes \mathbb {Z} _{2}$
		ditetragonal-pyramidal	C4v	polar	8	dihedral $\mathbb {D} _{8}=\mathbb {Z} _{4}\rtimes \mathbb {Z} _{2}$
		tetragonal-scalenohedral	D2d (Vd)	non-centrosymmetric	8	dihedral $\mathbb {D} _{8}=\mathbb {Z} _{4}\rtimes \mathbb {Z} _{2}$
		ditetragonal-dipyramidal	D4h	centrosymmetric	16	$\mathbb {D} _{8}\times \mathbb {Z} _{2}$
hexagonal	trigonal	trigonal-pyramidal	C3	enantiomorphic polar	3	cyclic $\mathbb {Z} _{3}$
		rhombohedral	C3i (S6)	centrosymmetric	6	cyclic $\mathbb {Z} _{6}=\mathbb {Z} _{3}\times \mathbb {Z} _{2}$
		trigonal-trapezohedral	D3	enantiomorphic	6	dihedral $\mathbb {D} _{6}=\mathbb {Z} _{3}\rtimes \mathbb {Z} _{2}$
		ditrigonal-pyramidal	C3v	polar	6	dihedral $\mathbb {D} _{6}=\mathbb {Z} _{3}\rtimes \mathbb {Z} _{2}$
		ditrigonal-scalenohedral	D3d	centrosymmetric	12	dihedral $\mathbb {D} _{12}=\mathbb {Z} _{6}\rtimes \mathbb {Z} _{2}$
	hexagonal	hexagonal-pyramidal	C6	enantiomorphic polar	6	cyclic $\mathbb {Z} _{6}=\mathbb {Z} _{3}\times \mathbb {Z} _{2}$
		trigonal-dipyramidal	C3h	non-centrosymmetric	6	cyclic $\mathbb {Z} _{6}=\mathbb {Z} _{3}\times \mathbb {Z} _{2}$
		hexagonal-dipyramidal	C6h	centrosymmetric	12	$\mathbb {Z} _{6}\times \mathbb {Z} _{2}$
		hexagonal-trapezohedral	D6	enantiomorphic	12	dihedral $\mathbb {D} _{12}=\mathbb {Z} _{6}\rtimes \mathbb {Z} _{2}$
		dihexagonal-pyramidal	C6v	polar	12	dihedral $\mathbb {D} _{12}=\mathbb {Z} _{6}\rtimes \mathbb {Z} _{2}$
		ditrigonal-dipyramidal	D3h	non-centrosymmetric	12	dihedral $\mathbb {D} _{12}=\mathbb {Z} _{6}\rtimes \mathbb {Z} _{2}$
		dihexagonal-dipyramidal	D6h	centrosymmetric	24	$\mathbb {D} _{12}\times \mathbb {Z} _{2}$
cubic		tetartoidal	T	enantiomorphic	12	alternating $\mathbb {A} _{4}$
		diploidal	Th	centrosymmetric	24	$\mathbb {A} _{4}\times \mathbb {Z} _{2}$
		gyroidal	O	enantiomorphic	24	symmetric $\mathbb {S} _{4}$
		hextetrahedral	Td	non-centrosymmetric	24	symmetric $\mathbb {S} _{4}$
		hexoctahedral	Oh	centrosymmetric	48	$\mathbb {S} _{4}\times \mathbb {Z} _{2}$

In total there are seven crystal systems: triclinic, monoclinic, orthorhombic, tetragonal, trigonal, hexagonal, and cubic.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

 Point groups

The crystallographic point group or crystal class is the mathematical group comprising the symmetry operations that leave at least one point unmoved and that leave the appearance of the crystal structure unchanged. These symmetry operations include

• Reflection, which reflects the structure across a reflection plane
• Rotation, which rotates the structure a specified portion of a circle about a rotation axis
• Inversion, which changes the sign of the coordinate of each point with respect to a center of symmetry or inversion point
• Improper rotation, which consists of a rotation about an axis followed by an inversion.

Rotation axes (proper and improper), reflection planes, and centers of symmetry are collectively called symmetry elements. There are 32 possible crystal classes. Each one can be classified into one of the seven crystal systems.

 المجموعات الفراغية المائتان وثلاثون

In addition to the operations of the point group, the space group of the crystal structure contains translational symmetry operations. These include:

• Pure translations, which move a point along a vector
• Screw axes, which rotate a point around an axis while translating parallel to the axis.
• Glide planes, which reflect a point through a plane while translating it parallel to the plane.

There are 230 distinct space groups.

 جدول ملخص

يبين الجدول التالي العلاقات الرقمية:

النظام البلوري	عدد المجموعات النقطية	عدد أعقاد براڤيه	عدد المجموعات الفراغية
1. ثلاثي الميول	2	1	2
2. أحادي الميل	3	2	13
3. معيني قائم	3	4	59
4. معيني الأوجه (ويسمى أيضاً، ثلاثي الأضلاع)	5	1	25
5. رباعي الأضلاع	7	2	68
6. مسدس	7	1	27
7. مكعب	5	3	36
إجمالي	32	14	230

 Atomic coordination

By considering the arrangement of atoms relative to each other, their coordination numbers (or number of nearest neighbors), interatomic distances, types of bonding, etc., it is possible to form a general view of the structures and alternative ways of visualizing them.

 Close packing

The hcp lattice (left) and the fcc lattice (right)

The principles involved can be understood by considering the most efficient way of packing together equal-sized spheres and stacking close-packed atomic planes in three dimensions. For example, if plane A lies beneath plane B, there are two possible ways of placing an additional atom on top of layer B. If an additional layer was placed directly over plane A, this would give rise to the following series:

...ABABABAB...

This arrangement of atoms in a crystal structure is known as hexagonal close packing (hcp).

If, however, all three planes are staggered relative to each other and it is not until the fourth layer is positioned directly over plane A that the sequence is repeated, then the following sequence arises:

...ABCABCABC...

This type of structural arrangement is known as cubic close packing (ccp).

The unit cell of a ccp arrangement of atoms is the face-centered cubic (fcc) unit cell. This is not immediately obvious as the closely packed layers are parallel to the {111} planes of the fcc unit cell. There are four different orientations of the close-packed layers.

The packing efficiency can be worked out by calculating the total volume of the spheres and dividing by the volume of the cell as follows:

${\frac {4\times {\frac {4}{3}}\pi r^{3}}{16{\sqrt {2}}r^{3}}}={\frac {\pi }{3{\sqrt {2}}}}=0.7405...$

The 74% packing efficiency is the maximum density possible in unit cells constructed of spheres of only one size. Most crystalline forms of metallic elements are hcp, fcc, or bcc (body-centered cubic). The coordination number of atoms in hcp and fcc structures is 12 and its atomic packing factor (APF) is the number mentioned above, 0.74. This can be compared to the APF of a bcc structure, which is 0.68.

 Grain boundaries

Grain boundaries are interfaces where crystals of different orientations meet. A grain boundary is a single-phase interface, with crystals on each side of the boundary being identical except in orientation. The term "crystallite boundary" is sometimes, though rarely, used. Grain boundary areas contain those atoms that have been perturbed from their original lattice sites, dislocations, and impurities that have migrated to the lower energy grain boundary.

Treating a grain boundary geometrically as an interface of a single crystal cut into two parts, one of which is rotated, we see that there are five variables required to define a grain boundary. The first two numbers come from the unit vector that specifies a rotation axis. The third number designates the angle of rotation of the grain. The final two numbers specify the plane of the grain boundary (or a unit vector that is normal to this plane).

Grain boundaries disrupt the motion of dislocations through a material, so reducing crystallite size is a common way to improve strength, as described by the Hall–Petch relationship. Since grain boundaries are defects in the crystal structure they tend to decrease the electrical and thermal conductivity of the material. The high interfacial energy and relatively weak bonding in most grain boundaries often makes them preferred sites for the onset of corrosion and for the precipitation of new phases from the solid. They are also important to many of the mechanisms of creep.

Grain boundaries are in general only a few nanometers wide. In common materials, crystallites are large enough that grain boundaries account for a small fraction of the material. However, very small grain sizes are achievable. In nanocrystalline solids, grain boundaries become a significant volume fraction of the material, with profound effects on such properties as diffusion and plasticity. In the limit of small crystallites, as the volume fraction of grain boundaries approaches 100%, the material ceases to have any crystalline character, and thus becomes an amorphous solid.

 العيوب والشوائب

تنقسم عيوب البلورات إلى ثلاثة أنواع عيوب نقطية و عيوب خطية و عيوب حجمية.

Real crystals feature defects or irregularities in the ideal arrangements described above and it is these defects that critically determine many of the electrical and mechanical properties of real materials. When one atom substitutes for one of the principal atomic components within the crystal structure, alteration in the electrical and thermal properties of the material may ensue. Impurities may also manifest as electron spin impurities in certain materials. Research on magnetic impurities demonstrates that substantial alteration of certain properties such as specific heat may be affected by small concentrations of an impurity, as for example impurities in semiconducting ferromagnetic alloys may lead to different properties as first predicted in the late 1960s. Dislocations in the crystal lattice allow shear at lower stress than that needed for a perfect crystal structure.

 Prediction of structure

المقالة الرئيسية: Crystal structure prediction

The difficulty of predicting stable crystal structures based on the knowledge of only the chemical composition has long been a stumbling block on the way to fully computational materials design. Now, with more powerful algorithms and high-performance computing, structures of medium complexity can be predicted using such approaches as evolutionary algorithms, random sampling, or metadynamics.

The crystal structures of simple ionic solids (e.g., NaCl or table salt) have long been rationalized in terms of Pauling's rules, first set out in 1929 by Linus Pauling, referred to by many since as the "father of the chemical bond". Pauling also considered the nature of the interatomic forces in metals, and concluded that about half of the five d-orbitals in the transition metals are involved in bonding, with the remaining nonbonding d-orbitals being responsible for the magnetic properties. He, therefore, was able to correlate the number of d-orbitals in bond formation with the bond length as well as many of the physical properties of the substance. He subsequently introduced the metallic orbital, an extra orbital necessary to permit uninhibited resonance of valence bonds among various electronic structures.

In the resonating valence bond theory, the factors that determine the choice of one from among alternative crystal structures of a metal or intermetallic compound revolve around the energy of resonance of bonds among interatomic positions. It is clear that some modes of resonance would make larger contributions (be more mechanically stable than others), and that in particular a simple ratio of number of bonds to number of positions would be exceptional. The resulting principle is that a special stability is associated with the simplest ratios or "bond numbers": ¹⁄₂, ¹⁄₃, ²⁄₃, ¹⁄₄, ³⁄₄, etc. The choice of structure and the value of the axial ratio (which determines the relative bond lengths) are thus a result of the effort of an atom to use its valency in the formation of stable bonds with simple fractional bond numbers.

After postulating a direct correlation between electron concentration and crystal structure in beta-phase alloys, Hume-Rothery analyzed the trends in melting points, compressibilities and bond lengths as a function of group number in the periodic table in order to establish a system of valencies of the transition elements in the metallic state. This treatment thus emphasized the increasing bond strength as a function of group number. The operation of directional forces were emphasized in one article on the relation between bond hybrids and the metallic structures. The resulting correlation between electronic and crystalline structures is summarized by a single parameter, the weight of the d-electrons per hybridized metallic orbital. The "d-weight" calculates out to 0.5, 0.7 and 0.9 for the fcc, hcp and bcc structures respectively. The relationship between d-electrons and crystal structure thus becomes apparent.

In crystal structure predictions/simulations, the periodicity is usually applied, since the system is imagined as unlimited big in all directions. Starting from a triclinic structure with no further symmetry property assumed, the system may be driven to show some additional symmetry properties by applying Newton's Second Law on particles in the unit cell and a recently developed dynamical equation for the system period vectors (lattice parameters including angles), even if the system is subject to external stress.

 Polymorphism

Quartz is one of the several crystalline forms of silica, SiO₂. The most important forms of silica include: α-quartz, β-quartz, tridymite, cristobalite, coesite, and stishovite.

Polymorphism is the occurrence of multiple crystalline forms of a material. It is found in many crystalline materials including polymers, minerals, and metals. According to Gibbs' rules of phase equilibria, these unique crystalline phases are dependent on intensive variables such as pressure and temperature. Polymorphism is related to allotropy, which refers to elemental solids. The complete morphology of a material is described by polymorphism and other variables such as crystal habit, amorphous fraction or crystallographic defects. Polymorphs have different stabilities and may spontaneously and irreversibly transform from a metastable form (or thermodynamically unstable form) to the stable form at a particular temperature. They also exhibit different melting points, solubilities, and X-ray diffraction patterns.

One good example of this is the quartz form of silicon dioxide, or SiO₂. In the vast majority of silicates, the Si atom shows tetrahedral coordination by 4 oxygens. All but one of the crystalline forms involve tetrahedral {SiO₄} units linked together by shared vertices in different arrangements. In different minerals the tetrahedra show different degrees of networking and polymerization. For example, they occur singly, joined together in pairs, in larger finite clusters including rings, in chains, double chains, sheets, and three-dimensional frameworks. The minerals are classified into groups based on these structures. In each of the 7 thermodynamically stable crystalline forms or polymorphs of crystalline quartz, only 2 out of 4 of each the edges of the {SiO₄} tetrahedra are shared with others, yielding the net chemical formula for silica: SiO₂.

Another example is elemental tin (Sn), which is malleable near ambient temperatures but is brittle when cooled. This change in mechanical properties due to existence of its two major allotropes, α- and β-tin. The two allotropes that are encountered at normal pressure and temperature, α-tin and β-tin, are more commonly known as gray tin and white tin respectively. Two more allotropes, γ and σ, exist at temperatures above 161 °C and pressures above several GPa. White tin is metallic, and is the stable crystalline form at or above room temperature. Below 13.2 °C, tin exists in the gray form, which has a diamond cubic crystal structure, similar to diamond, silicon or germanium. Gray tin has no metallic properties at all, is a dull gray powdery material, and has few uses, other than a few specialized semiconductor applications. Although the α–β transformation temperature of tin is nominally 13.2 °C, impurities (e.g. Al, Zn, etc.) lower the transition temperature well below 0 °C, and upon addition of Sb or Bi the transformation may not occur at all.

 الخواص الطبيعية

Twenty of the 32 crystal classes are piezoelectric, and crystals belonging to one of these classes (point groups) display piezoelectricity. All piezoelectric classes lack inversion symmetry. Any material develops a dielectric polarization when an electric field is applied, but a substance that has such a natural charge separation even in the absence of a field is called a polar material. Whether or not a material is polar is determined solely by its crystal structure. Only 10 of the 32 point groups are polar. All polar crystals are pyroelectric, so the 10 polar crystal classes are sometimes referred to as the pyroelectric classes.

There are a few crystal structures, notably the perovskite structure, which exhibit ferroelectric behavior. This is analogous to ferromagnetism, in that, in the absence of an electric field during production, the ferroelectric crystal does not exhibit a polarization. Upon the application of an electric field of sufficient magnitude, the crystal becomes permanently polarized. This polarization can be reversed by a sufficiently large counter-charge, in the same way that a ferromagnet can be reversed. However, although they are called ferroelectrics, the effect is due to the crystal structure (not the presence of a ferrous metal).

 انظر أيضاً

للمزيد من المعلومات عن تطبيقات تكنولوجيا معينة، انظر علم المواد، ceramic, أو متالورجيا.

• Cleavage (crystal)
• بلور
• هندسة البلورات
• علم البلورات
• Crystallographic point group
• Crystallographic defect
• نمو البلورات
• بلور سائل
• Miller Index
• Patterson function
• Quasicrystals
• Seed crystal
• Lattice constant

 وصلات خارجية

• Appendix A from the manual for Atoms, software for XAFS
• Intro to Minerals: Crystal Class and System
• Introduction to Crystallography and Mineral Crystal Systems
• Crystal planes and Miller indices
• Interactive 3D Crystal models
• Crystal Lattice Structures: Other Crystal Structure Web Sites