بدهيات الإحتمال

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

 بدهيات نظرية الاحتمال الأساسية(Axioms Of Probability)

نقل«برتراند رسل» في «المعرفة الإنسانية» عن الاستاذ «تشارلي دنبر برود- في مجلة -العقل- ست بدهيات لنظرية الاحتمال.

• احتمال «A»و«B» - حال تحققهما معا - يرمز له ب
• احتمال«A»و«B»- حال تحقق احدهما - يرمز له ب

وما يهمنا أساسا في البدهيات هو معرفة ان:

• افتراض «A» و«B» يعني ان هناك قيمة واحدة فقط ل«A/B»، وعليه نستطيع ان نتحدث عن احتمال «A» على أساس «B».

• احتمال وقوع الحدث الاكيد = 1.

• احتمال وقوع الحدث المستحيل = 0.

• إذا كان الحدث «A» مجموعة جزئية من الفضاء العيني «S» فان:

 بدهية الاتصال(Conjunctive Axiom)

يرجع الفضل في صياغة هذا المبدا إلى الدكتور تشارلي دنبر برود استاذ الفلسفة في جامعة كمبردج. ومفاده اننا إذا اردنا معرفة قيمة احتمال حدثين معا (حدث «A» وحدث «B») فاحتمالهما معا يساوي حاصل ضرب احتمال حدث (A) في احتمال حدث (B) على تقدير وقوع (A). ويرمز لذلك ب:

$P(A\cap B)=P(A)\cdot P(B\vert A).\,$

أما إذا كان «A» و«B» حدثين مستقلين، فهذا يعني ان

$P(A\cap B)=P(A)\cdot P(B).\,$

 بدهية الانفصال(Disjunctive Axiom)

وكذلك يرجع الفضل في صياغة هذا المبدا إلى الدكتور تشارلي دنبر برود. ومفاد هذه البدهية ان درجة احتمال ان يتصف «A» بواحدة على الاقل من صفتي «B» و«C» هي درجة احتمال اتصاف «A» ب «B» وحدها + احتمال اتصاف «A» ب «C» وحدها - احتمال اتصاف «A» ب «B» و«C» معا.

ويرمز لذلك ب:

$P(A\cup B)=P(A)+P(B)-P(A\cap B).\,$

وقد تقدم ان بدهية الاتصال تتكفل بتحديد احتمال اجتماع «A» و«B» والمشار اليه باحتمال A Ç B.

ملاحظتان مهمتان:

1 - لو كان الحدثان منفصلين :

$P(A\cup B)=P(A)+P(B)-P(A)\cdot P(B).\,$

2 - في بدهية الانفصال ذكرنا احتمال اتصاف «A» ب «B» وحدها وكذلك الامر بالنسبة إلى «C» وهذا يعني اننا ناخذ بعين الاعتبار كلا الاحتمالين في نفسيهما، بغض النظر عن تحقق الحدث الاخر. وهذا ما اشار اليه «رسل» في «المعرفة الإنسانية».

 خلاصة إجراء قواعد الاحتمال

• بملاحظة تكرار الحوادث :

إن بملاحظة تكرار الحوادث فان قياس الاحتمال تارة يكون في الحوادث البسيطة وأخرى في الحوادث المركبة:

1 - قياس الاحتمال في الحوادث البسيطة:

«بصفة عامة نقول ان درجة احتمال وقوع حدثة ما، هي كسر بسطه واحد ومقامه عدد الممكنات». لكن بشكل اعم، يمكن الاستعانة بقاعدة عامة تجري غالبا وهي:

احتمال (A)= عدد الحالات المتوفرة ل«A» / عدد الحالات الممكنة ل«A».

2 - قياس الاحتمال في الحوادث المركبة أو الاحتمال الشرطي: ان قياس الاحتمال في الحوادث المركبة يتخذ إحدى صيغتين تقدمتا معنا مفصلا، وهما عبارة عن بدهيتي «الاتصال» و«الانفصال».

• بملاحظة طريقة الحدوث :

بملاحظة طريقة الحدوث، فاننا على ما تقدم استعنا تارة بقاعدة الجمع، وأخرى بقاعدة الضرب:

 قاعدة الجمع

تستخدم قاعدة الجمع لقياس قيمة احتمال إحدى الحوادث بالنسبة إلى الأخرى وهي تعتمد أساسا على بدهية الانفصال. وقد ذكرنا انها تجري فيما لو كنا نريد قياس احتمال أحد الحدثين أو الحوادث على الاقل، وقلنا بان:

احتمال وقوع الحدثين يرمز له ب

<A \cap B </math <>.

احتمال وقوع أحد الحدثين : احتمال وقوع الحدث الأول + احتمال وقوع الحدث الثاني - احتمال وقوعهما معا (امااحتمال وقوعهما معا فتتكفل بدهية الاتصال بتحديده).

أو قل بعبارة أخرى:

احتمال وقوع إحدى الحوادث = مجموع احتمالات وقوعها - احتمال انضمامها.

وان الحدثين لو كانا منفصلين، فان احتمال وقوعهما معامستحيل (يساوي صفرا)، الامر الذي يعني ان احتمال وقوع أحد الحدثين = احتمال وقوع الحدث الأول + احتمال وقوع الحدث الثاني.

 قاعدة الضرب

تستخدم قاعدة الضرب لقياس قيمة احتمال اجتماع حدثين معا، وهي تعتمد أساسا على بدهية الاتصال.و قدذكرنا انها تجري فيما لو كنا نريد قياس احتمال وقوع الحدثين معا.

وقلنا بان: 1 - احتمال وقوع أحد الحدثين.

2 - احتمال وقوع الحدثين معا= احتمال وقوع الحدث الأول× احتمال وقوع الحدث الثاني بعد تحقق الأول.

3 - وان الحدثين لو كانا مستقلين، فلا معنى لتحقق احدهما بشرط تحقق الاخر الامر الذي يعني ان : (احتمال اجتماعهما :احتمال تحقق الأول ؛ احتمال تحقق الثاني).