منطق رياضي

المنطق الرياضي (ويعرف أيضا باسم المنطق الرمزي)، هو أحد حقول الرياضيات المتصل بأساسيات الرياضيات، علوم الحاسوب النظرية والمنطق الفلسفي.

ويمتد علم المنطق الحديث ليشمل آفاقًا أرحب بكثير مما شمله عمل أرسطو. فقد وضع علماء المنطق المُحْدَثون نظريات وأساليب لتناول القضايا الاستنتاجية على نحو يختلف عن الاستقراء المطلق. ومن علماء المنطق الحديث البارزين عالما الرياضيات البريطانيان جورج بُول و أَلْفرد نُورْث وايتهد، ثم الفيلسوف البريطاني بِرْترْاند راسل. وعلى عكس المناطقة التقليديين، فقد استخدم هؤلاء المناطقة مناهج حسابية وأساليب تستخدم الرموز.

ويستخدم علم المنطق اليوم بصفة أساسية لاختبار مدى سلامة القضايا. كما أن له استخدامات مهمة أيضًا في مجال العمل مع أجهزة مثل الحواسيب، والدوائر الكهربائية.

ولاختبار سلامة قضية ما، يقوم عالم المنطق أولاً بتحليل عباراتها، والتعبير عنها في صيغة رموز. ويكون الحرف أو أيّ رمز مُستخدم في القضية رمزًا لكلمة أو عبارة بأكملها في حالات عديدة. فعلى سبيل المثال، يَكْتب المناطقة عبارة مثل: "سقراط حكيم" في هيئة "ح س"، وعبارة "كل إغريقي حكيم" في هيئة معادلة كما يلي: "[س] [غ س¿ح س]". والرمز ¿يعني (إذا كان ¿، إذاً ¿ ). ويقوم عالم المنطق بعد ذلك بتطبيق قواعد الاستنتاج أحيانًا أو قواعد الاستدلال، لتحديد المعادلات الجديدة التي يُمكن استنتاجها من المقدمات الأصلية. فعلى سبيل المثال، هناك قاعدة تسمح باستنتاج العبارة (ك) من العبارات (ب) و "[ب ¿ك]". وعلى ذلك، يمكن الاستدلال على العبارة "تمَّ إلغاء النزهة" من العبارات "السماء تمطر" و "إذا كانت السماء تمطر إذًا تُلغى النزهة ". ويستمر عالم المنطق في استنتاج المعادلات حتى يصل إلى نتيجة.

والمنطق الحديث الرمزي هو تطوير وتصويب للمنطق التقليدي، يقوم على استنباط القوانين المنطقية من أقل عدد من المبادئ (بديهيات وقوانين) بطريقة دقيقة كاملة، أي إنه نسق استنباطي، يبدأ من مقدمات معينة لينتهي إلى النظريات اللازمة عنها، معتمداً قواعد خاصة، مستخدماً اللغة المنطقية الرمزية فقط. ويرجع ظهوره إلى لايبنتيس أولاً ثم جورج بول George Boole ت(1815ـ1864)، وطوره فريگه Frege، وفيتگنشتاين Wittgenstein وكارناپ Carnap وغيرهم، ويسمى أحياناً بالمنطق الرمزي أو الرياضي أو الاستدلالي أوالنظري أو جبر المنطق، أو المنطق اللوغارتيمي، أو اللوغسيقا، ويتوقف الاسم على الهدف من التسمية. وقد اكتمل على يد رسل Russell ووايتهد Whitehead اللذين حاولا المزج بين المنطق والرياضيات فوصلا إلى المنطق الرمزي، الذي يستخدم نوعين من الرموز، وهي الثوابت والمتغيرات، ويتألف من أربعة مباحث أساسية هي:

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

 منطق القضايا

يستخدم متغيرات قضوية، فيدرس قيمة صدق القضية كوحدة، من دون النظر إلى مكوناتها، ثم يبحث الروابط بينها، معتمداً ثوابت النفي، العطف، الانفصال، اللزوم والتكافؤ، فيشكل بذلك «دالات الصدق»، ويتابع بدراسة الصلات بين هذه الدالات ليكتمل كنسق استنباطي، مكوناته: أفكار أولية ومصادرات وقواعد استنباط خاصة، ثم يعمد لبرهنة جميع نظرياته، كما يدرس الاستدلال بنوعيه، من خلال صياغته بصورة «دالات صدق»، فيتمكن بذلك من اختبار صحتها بقوائم الصدق حيث ميز بعض حالات التقابل غير الصحيحة، وأيضاً بعض الأقيسة الفاسدة، التي عمد إلى تصويبها.

 منطق المحمولات

يدرس القضايا مع اعتبار مكوناتها، مستخدماً لذلك متغيرات حدية، ورموزاً لأسوار القضايا، معتمداً الثوابت المنطقية السابقة، ليمحص بهذه الأدوات موضوعات المنطق التقليدي ويطورها.

 منطق الفئات

يدرس القضايا باعتبارها ارتباط فئتين، فئة يدل عليها «الموضوع» وأخرى يدل عليها «المحمول»، ويصيغ جميع الاستدلالات بصورة معادلات جبرية، يختبر صحتها إما «بأشكال فن» الهندسة، وإما ببرهان حسابي، كما يدرس خصائص الفئات والعمليات الجبرية عليها (جمع الفئات، ضرب الفئات، الاحتواء، والهوية بين الفئات)، وينتهي إلى بناء نسق استنباطي مكون من مقدمات [(أفكار أساسية مثل الفئة الصفرية، الفئة الشاملة، والفئة المتممة)، و(بعض التعريفات الخاصة) و(المصادرات المأخوذة من العمليات الجبرية على الفئات)]، ويعتمد قواعد اشتقاق خاصة (الاستبدال الموحد واستبدال التطابق …) ليصل من خلالها إلى برهنة نظرياته. ومتغيرات هذا النسق متغيرات فئوية، أي إن كلاً منها يدل على فئة، كما أن له رموزه الخاصة للثوابت.

 منطق العلاقات

يبحث العلاقات من خلال الأفكار الأولية التي تقوم عليها، كما يركز على عمليات جمع العلاقات وضربها، وسلب العلاقة وعكس العلاقة والهوية والتضمن بين العلاقات. ويصنف العلاقات نوعياً إلى: انعكاسية، تماثلية، متعدية وترابطية. وكمياً وفق عدد حدودها إلى: علاقة واحد بكثير، علاقة كثير بواحد، علاقة واحد بواحد وعلاقة كثير بكثير، ويعتمد متغيرات تدل على علاقات (ع، غ) أما ثوابته فهي الثوابت المنطقية السابقة (النفي، الاحتواء، التضمن، الاجتماع، الضرب واللزوم) فيكتمل بذلك كنسق استنباطي دقيق.

 جملة

الجملة في مجموعة حروف و رموز لها معنى, مثال:

• 2+3=5
• 5+9=48

من الممكن دراسة هذه العبارات من وجهات نظر مختلفة, مثلا المتغيرات تأخد قيما متعددة نرمز لها عادة ب x . كما يمكن دراسة صحة أو خطأ العبارة.

 عبارة

تصبح الجملة عبارة إذا أمكن معرفة صحة أو خطأ العبارة نسمي عبارة كل نص رياضي له معنى و يكون إما صحيحاو إما خاطئا أما الدالة العبرية ( خاصية لمتغير) فهي كل نص رياضي له معنى و يحتوي على متغير و يصبح عبارة كلما عوضنا المتغير بقيمة معينة

 النفي

نفي العبارة P هي عبارة صحيحة إذا كانت P خاطئة, و خاطئة إذا كانت P صحيحة. و نرمز لنفي P ب $\neg P$.

جدول الحقيقة

P	$\neg P$
0	1
1	0

 العطف

عطف العبارتين p و Q تكون صحيحة فقط إذا كانت العبارتين معا صحيحتين. ونرمز له ب $P\wedge Q$

جدول الحقيقة

P	Q	$P\wedge Q$
0	0	0
0	1	0
1	0	0
1	1	1

 الفصل

فصل العبارتين p و Q تكون صحيحة فقط إذا كانت إحدى العبارتين صحيحة. ونرمز له ب $P\vee Q$

جدول الحقيقة

P	Q	$P\vee Q$
0	0	0
0	1	1
1	0	1
1	1	1

 الاستلزام

تكون العبارة P تستلزم Q ، خاطئة فقط إذا كانت P صحيحة و Q خاطئة.

و نرمز لها ب: $Q\Leftarrow P$ و هي تكافئ العبارة: $\neg P\vee Q$.

جدول الحقيقة

P	Q	$Q\Leftarrow P$
0	0	1
0	1	1
1	0	0
1	1	1

 التكافؤ

تكافؤ العبارتين $P\,$ و $Q\,$ هو $(Q\Leftarrow P)\wedge (P\Leftarrow Q)$, و نرمز له ب: $Q\Leftrightarrow P$

جدول الحقيقة

P	Q	$Q\Leftrightarrow P$
0	0	1
0	1	0
1	0	0
1	1	1

 القوانين المنطقية

القوانين المنطقية عبارة عن جمل مكونة من عدة عبارات مرتبطة فيما بينها بروابط منطقية و تكون دائما صحيحة بغض النظر عن صحة أو خطأ العبارات المكونة لها.

أمثلة:

1. $\neg (\neg P)\Leftrightarrow P$
2. $(P\wedge Q)\Leftrightarrow (Q\wedge P)$
3. $\neg (P\wedge Q)\Leftrightarrow (\neg P)\vee (\neg Q)$
4. $\neg (P\vee Q)\Leftrightarrow (\neg P)\wedge (\neg Q)$

المثالين الأخيرين, يعرفان بقوانين مرجان morgan.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

 الدوال العبارة. استعمال الكموميات

 دوال العبارة

الدالة العبارة, هي تطبيق من مجموعة قيم المتغيرات نحو مجموعة مكونة من العنصرين صحيح و خطأ.

مثال:

بالنسبة للعبارة: "x عدد صحيح طبيعي, x+3=10." نحصل على دالة من $\mathbb {N} \$ إلى $\{0,1\}\,$ بحيث:

${\begin{matrix}\mathbb {N} \ \rightarrow \{0,1\}\\0\mapsto 0\\7\mapsto 1\end{matrix}}$

 الكموميات

هناك نوعان وجودية و كونية.

1. الوجودية تعني وجود عناصر تحقق عبارة ما, مثل يوجد x من $\mathbb {N} \$ بحيث: $x^{2}-1=0\,$

نرمز للوجودية بالرمز $\exists$.

1. الكونية تعني أن عبارة ما تكون دائما صحيحة مهما تغيرت قيمة المتغير, مثل كيما كانت قيمة x من $\mathbb {R} \$ لدينا $(x+1)^{2}=x^{2}+2x+21\,$

نرمز للكونية بالرمز $\forall$.

 الكموميات و الروابط المنطقية

عندما يكون هناك وجوديات, النفي يعبر عنه ب:

$\neg [(\forall x\in \ E)A(x)]\Leftrightarrow [(\exists x\in \ E)\neg A(x)]$

$\neg [(\exists x\in \ E)A(x)]\Leftrightarrow [(\forall x\in \ E)\neg A(x)]$

مع E مجموعة تتضمن الخاصية A.

 تطبيق على نظرية المجموعات

هناك علاقة بين نظرية المجموعات و المنطق.

 الاستلزام و التضمن

نسمي جزء A(أو مجموعة صغرى) لمجموعة E كل عناصر المجموعة A التي تنتمي إلى E.

و نكتب:

$A\subset E$

نقول أن المجموعة A ضمن المجموعة E, يكافئ أن كل عنصر x من A, يستلزم أن xينتمي إلى E.

 مجموعة الأجزاء

 مجموعة الأجزاء

كل مجموعة لها عدة أجزاء, و هذه الأجزاء تكون مجموعة الأجزاء.

 التساوي و التكافؤ

المجموعة A تساوي المجموعة B, تكافئ لكل x من x :E من A يكافئ x من B.

 المتمم و النفي

متمم الجزء A, هو الجزء B الذي عناصره لا تنتمي إلى A.

x ينتمي إلى A, يكافئ x لا ينتمي إلى B.

 التقاطع و العطف

تقاطع المجموعتين A و B, هي مجموعة العناصر المشتركة C, التي نرمز لها ب: $A\cap B\,$.

x من C يكافئ: x من A و x من B.

 الاتحاد و الفصل

اتحاد المجموعتين A و B, هي المجموعة C التي عناصرها تنتمي إلى أحد المجموعتين, و التي نرمز لها ب: $A\cup B$.

x من C يكافئ: x من A أو x من B.

 خاصيات عطف التقاطع و الاتحاد في مجموعة الأجزاء

 الفرق

 الفرق المتماثل

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

 تطبيق في البرهنة الرياضية