القوانين الأساسية في الدارات الكهربائية

القوانين الأساسية في الدارات

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

 بعض المفاهيم الفيزيائية

• التيار الكهربائي في دارة هو معدل مرور الشحنة الكهربائية في الدارة:.

$i={\frac {\mathit {dq}}{\mathit {dt}}}\,$

يقاس بالآمبير، ويدل الرمز $i\,$ على أن التيار ذو قيمة آنية تتبع للزمن، في حين يستخدم الرمز $I\,$ للدلالة على شدة تيار لا تتغير مع الزمن، وهو يتجه دوما من نقطة ذات كمون مرتفع (+) إلى نقطة ذات كمون منخفض (-).

• أما الفلطية فتقاس بالفولط، وتستخدم للتعبير عن:
  • فرق الكمون potential difference بين نقطتين: وهو العمل المطلوب لتحريك شحنة موجبة قدرها 1 كولون بين تلك النقطتين.
  • القوة المحركة الكهربائية electromotive force : هو فرق الكمون المُطبّق بواسطة منبع للتيار الكهربائي، وهو الطاقة المحولة لكل واحدة شحنة في ذلك المنبع.

• الطاقة (العمل) work : تعطى الطاقة اللازمة لنقل شحنة كهربائية $q\,$ بين نقطتين فرق الكمون بينهما v بالعلاقة:

$W=vq\,$

• الاستطاعة power : وهي معدل نقل الطاقة، وواحدتها الواط (جول/ثا):

$p={\frac {\mathit {dW}}{\mathit {dt}}}=v{\frac {\mathit {dq}}{\mathit {dt}}}=vi\,$

تدل الحروف الصغيرة على القيم الآنية، أما الحروف الكبيرة فهي للاستطاعة الوسطى: $P=VI\,$

 المقاومة وقانون أوم

ينشأ التيار نتيجة حركة الإلكترونات الحرة التي تصطدم بالإلكترونات الأخرى، فتفقد جزءاً من طاقتها، وهذا يعبر عن نوع من المقاومة لمرور التيار. يعبر عن قانون أوم بصيغتين: $v=iR\,$

حيث R: ثابت تناسب يسمى المقاومة واحدته الأوم Ω

$i=vG\,$

حيث G : الناقلية، واحدتها السيمنز S

تعطى استطاعة دارة مقاومة بالعلاقة:

$p=v\cdot i=i^{2}R={\frac {v^{2}}{R}}\,$

وتعطى الطاقة المنقولة خلال زمن t في دارة تيار مستمر، بالعلاقة: $W={\mathit {VIt}}=I^{2}{\mathit {Rt}}=V^{2}t/R\,$

ويمكن استخدام الواحدة كيلوواط ساعي بدلا من الجول (حيث: $1{\mathit {kW}}=3.6\times 10^{6}J\,$)

 قوانين كرشوف Kirchhoff 's Laws

• قانون كرشوف للتيارات المجموع الجبري للتيارات الواردة والصادرة عن أي عقدة يساوي الصفر.

$i_{1}+i_{3}=i_{2}+i_{4}\,$

$\sum _{n=1}^{N}i_{n}=0\,$

عند تطبيق هذا القانون تعطى القيم الجبرية للتيارات الواردة إشارة واحدة معاكسة للإشارة الخاصة بالتيارات الصادرة.

• قانون كرشوف للفلطية: المجموع الجبري للقوى المحركة الكهربائية وفروق الكمون وفق اتجاه معين حول دارة مغلقة هو الصفر.

$V_{1}+V_{2}+V_{3}=0\,$

$\sum _{n=1}^{N}v_{n}=0\,$

عند تطبيق هذا القانون لا بد من الانتباه إلى إشارة الفلطية المدروسة.

ملاحظات حول حل المسائل عندما يطلب تحليل دارة معينة وإيجاد قيم معينة فيها، لا بد لنا أولا أن نقوم بتحديد جهات التيار على الشكل. لا يوجد معيار معين لتحديد جهة تيار ما، فالأمر اصطلاحي تماما، أما الجهة الحقيقية فتعرف بالحساب في نهاية المسألة، فإذا كانت مثلا $i\,$ موجبا، فهذا يعني أن جهة التيار الحقيقية موافقة للجهة المحددة على الشكل، أما عندما نجد أن $i\,$ فهذا يعني أن جهة التيار الحقيقية هي بعكس الجهة المحددة على الشكل.

من أجل إيجاد الفلطيات على طول الدارة علينا أن نميّز بين المولد والمقاومة. تتعلق الفلطية بين طرفي المولد بالاتجاه الذي نسلكه، فإذا أردنا حساب الفلطية من a إلى b (كما في الشكل)، فإن القيمة الجبرية هي +V ، أما إذا أردنا حساب الفلطية من b إلى a، فإن القيمة الجبرية تصبح -V.

لكن الأمر يختلف عندما نتحدث عن المقاومة، إذ يجب عندها أن ننظر إلى جهة الاصطلاحية للتيار. ففي الشكل أدناه الفلطية من a إلى b هي$-{\mathit {iR}}\,$، أما الفلطية من b إلى a فهي $+{\mathit {iR}}\,$. السبب هو أن التيار يتحرك دوما من الكمون المنخفض إلى الكمون المرتفع.

حاول أن تجرب بنفسك معرفة إشارة فلطية المقاومة التالية! الجواب: b → a: $-{\mathit {iR}}\,$ a → b: $+{\mathit {iR}}\,$

فملخص الكلام أنه إذا كانت جهة التيار موافقة للاتجاه الذي نحسب فيه الفلطية، فتكون الفلطية معاكسة لإشارة التيار. أما إذا كانت جهة التيار معاكسة للاتجاه الذي نحسب فيه الفلطية، فإن إشارة الفلطية توافق إشارة التيار.

مثال (1): اكتب قوانين كرشوف للتيار في كل من العقد a وb وc وd. الحل: مثال (2): في الدارة الموضحة، اكتب معادلات الفلطية لكل من الحلقات a وb وc وd: الحل:

 المنابع العملية

منبع الفلطية المثالي هو منبع فولط يزود الحمل بأي تيار، بينما لا يستطيع المنبع الحقيقي أن يقوم بذلك. تمثل هذه المحدودية بمقاومة توضع على التسلسل، مع منبع الفلطية المثالي، نسميها مقاومة المنبع Rs .

منبع التيار المثالي يزوّد الحمل (كالمقاومة) بتيار ثابت، ولا يستطيع المنبع الحقيقي أن يقوم بذلك. تمثل هذه المحدودية بناقلية توضع على التفرع مع منبع التيار المثالي نسميها ناقلية المنبع Gs.

يفضل دوما عند تحليل دارة ما أن نقوم بتحويل المنابع إلى نوع واحد من المنابع. لتكن لدينا الدارتين السابقتين: ففي الدارة الأولى، وحسب قانون كرشوف للفلطيات نجد أن فلطية الحمل: $e_{s}-i_{L}R_{s}-V_{L}=0\,$ أي $V_{L}=e_{s}-i_{L}R_{s}\,$

تيار الحمل في الدارة الأولى فهو تيار المنبع ناقصا منه التيار i المار بالناقلية (والتي تكافئ مقاومة rs): أي $i_{L}=i_{s}-i\,$، ومنه: $i_{L}=i_{s}-{\frac {V_{L}}{r_{s}}}={\frac {i_{s}r_{s}-V_{L}}{r_{s}}}\,$، وبالتالي تكون الفلطية على طرفي الحمل: $V_{L}=i_{s}r_{s}-i_{L}r_{s}\,$

بمساواة عبارة فلطية الحمل (وبما أن $e_{s}=i_{s}r_{s}\,$) نجد أن: $R_{s}=r_{s}={\frac {1}{G_{s}}}\,$ وبالتالي يكون: $e_{s}=i_{s}r_{s}={\frac {i_{s}}{G_{s}}}\,$

 مقاومة دارة تسلسلية

لتكن لدينا R3، R2، R1 ثلاث مقاومات مربوطة على التسلسل. فتكون فروق الكمون على أطرافها (وعلى التوالي): V1 = IR1, V2 = IR2, V3 = IR3

وحسب قانون كرشوف نعلم أن:

$Es=V1+V2+V3=I(R1+R2+R3)=IRE\,$

حيث $R_{E}$ المقاومة المكافئة للدارة التسلسلية، ومن أجل n قيمة تكون:

خطأ رياضيات (خطأ في الصيغة): {\displaystyle R_E = R_1 + R_2 + ... + R_n\}

تقسيم الفلطية: يمكن استخدام عدة مقاومات مربوطة على التسلسل من أجل تقسيم الفلطية في دارة، فكما نعلم، الفلطية بين طرفي المقاومة رقم n هيVn = IRn ، كما نعلم أن الفلطية الكلية بين طرفي كل الدارة التسلسلية هي Vs = IRE . إذا نجد ومن خلال نسبة العلاقتين السابقتين أن:خطأ رياضيات (خطأ في الصيغة): {\displaystyle \frac{V_{n}} {V_{s}}= \frac{R_n}{R_E},\}

ومنه تكون الفلطية بين طرفي المقاومة رقم n:

$V_{n}=V_{s}{\frac {R_{n}}{R_{E}}}=V_{s}{\frac {R_{n}}{R_{1}+R_{2}+...+R_{n}}}\,$

 مقاومة دارة تفرعية

لتكن لدينا R3، R2، R1 ثلاث مقاومات مربوطة على التفرع. فتكون التيارات المارة بها (وعلى التوالي):

$I_{1}={\frac {V_{p}}{R_{1}}}\,$

$I_{2}={\frac {V_{p}}{R_{2}}}\,$

$I_{3}={\frac {V_{p}}{R_{3}}}\,$

وبتطبيق قانون كرشوف للتيارات يكون لدينا:

$I=I_{1}+I_{2}+I_{3}={\frac {V_{p}}{R_{1}}}+{\frac {V_{p}}{R_{2}}}+{\frac {V_{p}}{R_{3}}}=V_{p}[{\frac {1}{R_{1}}}+{\frac {1}{R_{2}}}+{\frac {1}{R_{3}}}]$\,

ولكننا نعلم أن

$I={\frac {V_{p}}{R_{E}}}\,$

فتكون المقاومة المكافئة: ${\frac {1}{R_{E}}}={\frac {1}{R_{1}}}+{\frac {1}{R_{2}}}+{\frac {1}{R_{3}}}\,$، وبالاستعاضة عن المقاومات بالناقليات يكون لدينا: $G_{E}=G_{1}+G_{2}+G_{3}\,$

تقسيم التيار يمكن استخدام عدة مقاومات مربوطة على التفرع لتقسيم التيار، فالتيار المار في الفرع n هو $I_{n}=V_{p}G_{n}\,$، ولكن التيار الكلي في الدارة: $I=V_{p}G_{E}\,$ ، ومن خلال علاقة التناسب نجد:${\frac {I_{n}}{I}}={\frac {G_{n}}{G_{E}}}\,$ أي:$I_{n}=I{\frac {G_{n}}{G_{E}}}=I{\frac {R_{E}}{R_{n}}}\,$