الجبر البولياني

الجبر البولياني طريقة رياضيّة تُستعمل لحلِّ مسائل المنطق والاحتمالات الهندسية. وسُميت هذه الطريقة باسم جورج بول (1815 – 1864م) وهو عالم منطق ورياضيات إنجليزي. وقد طوّر بول طريقة لتكوين العبارات المنطقيّة بالرموز. ويمكن كتابة هذه العبارات وإثباتها بطريقة مماثلة للطريقة المستعملة في الجبر العادي. ونظرية جبر المنطق تستعمل أيضًا في المسائل الهندسية مثل تصميم دوائر المفاتيح الكهربائية، وبخاصة الدوائر التي تؤدي عمليات حسابية في الآلات الحاسبة والحواسيب. ويتناول الجبر البولياني العلاقات بين المجموعات (مجموعات الأفكار أو الأشياء). مثال مجموعات الأرقام الأقل من مائة؛ الزهور الحمراء؛ الناس. وفي الجبر البولياني يتم التمثيل لهذه المجموعات بالحروف أ ب ج وهكذا. وتتبع ثلاث من العمليات البوليانية قوانين مشابهة لقوانين الجبر العادية. ورموز هذه العمليات هي (قبعة أو تقاطع). U (قدح أو اتحاد). فمثلاً العملية أ ب تمثل مجموعة العناصر الموجودة في كلتا المجموعتين أ و ب ويمكن تمثيل هذه العلاقة بالجزء المظلل للدوائر المتداخلة الموضحة في الرسـم الأول. ويمكن تمثيل العمليـات أ U ب و أ َ في رسومات مماثلة.

ويمثل المستطيل في كل رسم مجموعة شاملة “الرمز1″ مجموع العناصر التي تناقش.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

 العمليات

 العمليات الأساسية

1.عملية "و" (AND Operation).

2. عملية "أو" (OR Operation).

3. عملية "لا" (NOT Operation).

تسمى العمليتان الأولى والثانية عمليتان ثنائيتان (Binary Operations)لأن كلاً منها تحتاج إلى متغيرين على الأقل، بينما تسمى عملية NOT "لا" عملية أحادية (Unary) لأن لها متغيرًا واحداً أو مدخلاً واحداً فقط، ويمكن استخدام الإشارات الجبرية التالية لتمثيل العمليات الأساسية. مع الافتراض أن المتغيرات هي Y،X.

عمليات بوليانية اساسية ضمن صورة

 العمليات الاساسية المشتقة

وقد سميت هكذا لأنها اشتقت من العمليات البوولية الأساسية، والعمليات المشتقة هي:

1. عملية (NAND Operation ) وقد أخذت التسمية من ( NOT AND).

2. عملية (NOR Operation) وقد أخذت التسمية من (NOT OR).

3. عملية (XOR Operation) وقد أخذت التسمية من (Exclusive OR)

4. عملية (EQV Operation) وقد أخذت التسمية من (Exclusive NOR or Equivalence).

 القوانين

$a\lor (b\lor c)=(a\lor b)\lor c$	$a\land (b\land c)=(a\land b)\land c$	associativity
$a\lor b=b\lor a$	$a\land b=b\land a$	commutativity
$a\lor (a\land b)=a$	$a\land (a\lor b)=a$	absorption
$a\land (b\lor c)=(a\land b)\lor (a\land c)$		distributivity
$a\lor {\neg }a=1$	$a\land {\neg }a=0$	complements

 المشتقات

(w∨x)∨(y∨z)
= ((w∨x)∨y)∨z
= (w∨(x∨y))∨z
= (w∨(y∨x))∨z
= ((w∨y)∨x)∨z
= (w∨y)∨(x∨z)

 انظر أيضاً

• Boolean algebra (introduction)
• Boolean algebra (structure)
• Boolean algebra topics
• نطاق بولياني
• Boolean function
• Boolean-valued function
• Finitary boolean function
• Heyting algebra
• Lattice (order)
• Laws of Form
• Lindenbaum–Tarski algebra
• Logic minimization
• Logic gate
• Logical graph
• Minimal negation operator
• Propositional calculus
• جدول الحقيقة
• Universal algebra
• مخطط ڤن
• Ternary logic

 المصادر

• Boole, George (2003) [1854]. An Investigation of the Laws of Thought. Prometheus Books. ISBN 978-1-59102-089-9.
• Dwinger, Philip (1971). Introduction to Boolean algebras. Würzburg: Physica Verlag.
• Givant, Steven; Halmos, Paul (2009), Introduction to Boolean Algebras, Undergraduate Texts in Mathematics, Springer, ISBN 978-0-387-40293-2 .
• Koppelberg, Sabine (1989). "General Theory of Boolean Algebras". Handbook of Boolean Algebras, Vol. 1 (ed. J. Donald Monk with Robert Bonnet). Amsterdam: North Holland. ISBN 978-0-444-70261-6.
• Peirce, Charles Sanders (1989). Writings of Charles S. Peirce: A Chronological Edition: 1879–1884 (ed. Christian J. W. Kloesel). Bloomington, IN: Indiana University Press. ISBN 978-0-253-37204-8.
• Schröder, Ernst (1890–1910). Vorlesungen über die Algebra der Logik (exakte Logik), I–III. Leipzig: B.G. Teubner.
• Shannon, Claude (1938). "The Symbolic Analysis of Relay and Switching Circuits". Trans. Am. Inst. Electrical Eng. 38: 713.
• Shannon, Claude (1949). "The Synthesis of Two-Terminal Switching Circuits". Bell System Technical Journal. 28: 59–98.
• Sikorski, Roman (1969). Boolean Algebras (3/e ed.). Berlin: Springer-Verlag. ISBN 978-0-387-04469-9.
• Stone, Marshall (1936). "The Theory of Representations for Boolean Algebras". Transactions of the American Mathematical Society. 40: 37–111. doi:10.2307/1989664. ISSN 0002-9947.
• Tarski, Alfred (1929). "Sur les classes closes par rapport à certaines opérations élémentaires". Fundamenta Mathematicae. 16: 195–197. ISSN 0016-2736.
• Tarski, Alfred (1935). "Zur Grundlegung der Booleschen Algebra, I". Fundamenta Mathematicae. 24: 177–198. ISSN 0016-2736.
• Vladimirov, D.A. (1969). булевы алгебры (Boolean algebras, in Russian, German translation Boolesche Algebren 1974). Nauka (German translation Akademie-Verlag).
• Zhegalkin, Ivan Ivanovich (1927). "On the Technique of Calculating Propositions in Symbolic Logic". Mat. Sb. 43: 9–28.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

 وصلات خارجية

• George Boole, 1848, "The Calculus of Logic," Cambridge and Dublin Mathematical Journal III: 183-98.
• Logical Formula Evaluator (for Windows), a software which calculates all possible values of a logical formula
• How Stuff Works - Boolean Logic
• Maiki & Boaz BDD-PROJECT, a Web Application for BDD reduction and visualization.