الأشكال العادية للجبر المنطقي

الأشكال العادية للجبر المنطقي يوجد شكلين عادين للجبر المنطقي: 1. مجموع المضاريب: 2. مضروب المجاميع:

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

 أولاً: مجموع المضاريب

في هذا الشكل يتكون التابع من مجموع حدود نسميها الحدود الأصغرية،ويرمز للمتحول غير المنفي بالرمز(1)والمتحول المنفي (0) وترتبط المتحولات فيما بينها بارتباط من النوع AND وترتبط الحدود مع بعضها بعلاقة OR.

الحد الأصغري: الحد الذي جميع متحولات التابع منفية أو غير منفية بشكل إفرادي والعلاقة بين هذه المتحولات هي علاقة جداء منطقي.

ملاحظة: ABC هذا الحد ليس أصغري. ABC هذا الحد أصغري.

 مثال(1)

أوجد التابع الممثل في الجدول التالي: مجموع المضاريب F A B C ABC 1 0 0 0 ABC 1 1 0 0 0 0 1 0 0 1 1 0 0 0 0 1 ABC 1 1 0 1 ABC 1 0 1 1 0 1 1 1 ننظر إلى قيم التابع التي يكون عندها غير منفي (يساوي1) وعند كل واحد نربط المتحولات مع بعضها بعلاقة AND و نربط الحدود مع بعضها بعلاقة OR فيصبح التابع بالشكل: F=ABC+ABC+ABC+ABC

 ثانياً:مضروب المجاميع

في هذا الشكل يتكون التابع من جداء حدود نسميها الحدود الأعظمية،ويرمز للمتحول غير المنفي بالرمز(0)والمتحول المنفي (1) وترتبط المتحولات فيما بينها بارتباط من النوع ORوترتبط الحدود مع بعضها بعلاقةAND. الحد الأعظمي:هو الحد الذي يحوي جميع متحولات التابع منفية أو غير منفية بشكل إفرادي والعلاقة بين هذه المتحولات هي علاقة جمع منطقي. ملاحظة:A+B+C هذا الحد ليس أعظمي. A+B+C هذا الحد أعظمي. في المثال السابق ننظر إلى قيم التابع التي يكون عندها منفي ( يساوي0) وعند كل صفر نربط المتحولات مع بعضها بعلاقة OR ونربط الحدود مع بعضها بعلاقة AND فيصبح التابع بالشكل: F=(A+B+C)(A+B+C)(A+B+C)(A+B+C) ملاحظة: نستخدم الشكل العادي الأول عندما يكون عدد الواحدات أقل من عدد الأصفار ونستخدم الشكل العادي الثاني عندما يكون عدد الأصفار من عدد الواحدات.

 مثال(2)

أوجد الصيغة الرياضية للتابع المنطقي المعرف بالجدول التالي: مضروب المجاميع مجموع المضاريب F A B A+B 0 0 0 AB 1 1 0 AB 1 0 1 A+B 0 1 1 في هذا التابع عدد الواحدات يساوي عدد الأصفار لذلك لا يوجد فرق بين الصيغتين. وبالتالي يكون التابع بصيغة مجموع المضاريب هو:F=AB+AB وبصيغة مضروب المجاميع هو: F=(A+B)(A+B) من العلاقة السابقة نجد:F=AA+AB+BA+BB ولكن AA=BB=0 ومنه:F=AB+AB أي أن الصيغتين متساويتين.

 مثال(3)

أوجد الصيغة الرياضية للتابع المنطقي المعرف بالجدول التالي: نلاحظ أن عدد الأصفار أقل من عدد مضروب المجاميع F A B C A+B+C 0 0 0 0 1 1 0 0 1 0 1 0 1 1 1 0 1 0 0 1 1 1 0 1 1 0 1 1 A+B+C 0 1 1 1 الواحدات لذلك نستخدم طريقة مضروب المجاميع: F=(A+B+C)(A+B+C)

 وصلات خارجية

• George Boole, 1848, "The Calculus of Logic," Cambridge and Dublin Mathematical Journal III: 183-98.