احتمالات وإحصاء

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

 ما هي الأشياء التي سنتطرق لها :

• الأحداث والاحتمالات

• المتحولات العشوائية

• المتحولات العشوائية المنقطعة وتوزيعها

• المتحولات العشوائية المستمرة وتوزيعها

• التوابع المولدة وتطبيقاتها

• عزوم العينة

• وبالإحصاء لدينا :

• التقدير النقطي

• اختبار الفرضيات

 أولاً أحداث الاحتمالات

• فضاء العينة
• جبر الأحداث
• الاحتمالات
• طرائق العد
• الاحتمالات المشروطة
• الاستقلال

 تعريفات اساسية

نظرية الاحتمالات هي العلم الذي يهتم بدراسة الظواهر العشوائية وتحليليها مثال:= معرفة عدد الحوادث التي ستقع على طريق دمشق-حلب

 التجربة العشوائية

اي عملية تولد مجموعة من المعطيات او بكلام احر كل عمل تقوم له للرد على سؤال مطروح مثال:=

• سجب رقم عشوائي من الصفر الى الواحد
• عدد الزبائن التي تاتي على احد المتاجر احد الايام
• عمر ذرة مشعة
• رمى قطعة نرد

 فضاء العينة

هو مجموعة كل النتائج للتجربة وسنرمز له ب Ω

• مثال-1-

فضاء العينة في إلقاء قطعة نقود هوΩ={H,T

• مثال-2-

فضاء العينة لإلقاء حجر نرد هو Ω={1,2,3,4,5,6

فضاء العينة لعدد الزبائن هي مجموعة قابلة للعد وغير منتهيةΩ=N

فضاء العينة لاختيار عدد عشوائي ضمن المجال ]0,1[ هو Ω=]0,1 غير منته وغير قابل للعد

 الحدث العشوائي

هو مجموعة جزئية من فضاء العينة ونرمز له بأحد الرموز A,B,C يقع الحدث A إذا كانت نتيجة التجربة E عنصرا من A أي أن W تنتمي ل A

الحدث الابتدائي :هو المجموعة التي تحوي إحدى النتائج الممكنة فقط ففي مثال حجر النرد {1},{2},{3},{4},{5},{6} تمثل أحداثا ابتدائية

ملاحظة :كل حدث هو مجموعة ابتدائية من Ω ولكن العكس ليس صحيح أي أنه ليس بالضرورة أن تكون كل مجموعة جزئية حدثا

 جبر الأحداث

*اجتماع حدثين (Union of Events)

اجتماع حدثين A,B هو حدث يقع اذا وقع أحد الحدثين أو الحدثين A أو B أو كلاهما ونرمز له ب $A\cup B$

• مثال :

في تجربة إلقاء حجر نرد ليكن لدينا الأحداث التالية A = {1,2,3,} ومجموعة الأعداد الزوجية B = {2,4,6 } و ومجموعة الأعداد الفردية c= {1,3,5 }

عبر عن الحدث $A\cup B$

$A\cup B$={1,2,3,4,6,} هو حدث عدم ظهور الرقم 5

*تقاطع الحدثين (Intersection of Events)

تقاطع الحدثين A,b يعني وقوع الحدثين A و B بآن واحد ونرمز له ب $A\cap B$

• مثال :

في تجربة إلقاء حجر نرد ليكن لدينا الأحداث التالية A = {1,2,3} ومجموعة الأعداد الزوجية B={2,4,6} و ومجموعة الأعداد الفردية c= {1,3,5 }

عبر عن الحدث $A\cap C$ , $B\cap C$ , $A\cap B$

$A\cap B$ = {2} هو حدث ظهور العدد 2 فقط

$B\cap C$ = Φحدث الحصول على عدد فردي و زوجي في آن واحد وهذا مستحيل (لايمكن وقوع هذا الحدث )

$A\cap C$ ={1,3} هو حدث ظهور عدد فردي اقل تماماً من 5

*الإحتواء (Inclusion)

ليكن A و B حدثين فإن وقوع الحدث A يؤدي غلى وقوع الحدث b

*فرق الحدثين (Difference between events)

نقول أن الحدث A\B قد وقع إذا إذا كانت النتيجة هي من A وليست من B

• مثال :

في تجربة إلقاء حجر نرد ليكن لدينا الأحداث التالية A={1,2,3}ومجموعة الأعداد الزوجية B={2,4,6} و ومجموعة الأعداد الفردية c= {1,3,5 }

عبر عن الحدث A \ B

A\B = {1,3 } يمثل حدث الحصول على عدد فردي أقل من 5

B\A = {4,6 } يمثل الحصول على عدد زوجي أكبر من 2

*الحدثان المنتافيان

نقول ان A و B متناقيان إذا وفقط إذا كان $A\cap B$ = Φ

ملاحظة :

وقوع أحد الحدثين المتنافيين ينفي إمكانية وقوع الحدث الآخر , أي الحدثان المتنافيان لا يمكن أن يقعا معاً

$A\cap B$ = Ø هذا يعني أن وقوع A يمنع وقوع B

• مثال :

في تجربة إلقاء حجر نرد ليكن لدينا الأحداث التالية A={1,2,3}ومجموعة الأعداد الزوجية B={2,4,6} و ومجموعة الأعداد الفردية c= {1,3,5 }

$B\cap C$ = Ø

$C\cap B$ = Ø

وبالتالي الحدثان C و B متنافيان

• متمم الحدث

متمم الحدث A هو حدث يحوي سائر الأحداث الإبتدائية من فضاء العينة والغير محتواة في الحدث A ونرمز له ب Á

A و Á حدثان متتامان حيث :

Ω = $A\cup B$

Ø = $A\cup B$