الحجم (Volume) هو مقياس فيزيائي لقياس الحيز الذي يشغله جسم ما حقيقي أو تخيلي . ويقاس الحجم بوحدات خاصة، فيقال متر مكعب أو سم مكعب، أو مليميتر مكعب دلالة على أن جسما ما حجمه يساوي حجم مكعب طول ضلعه متر أو سم واحد.
هناك وحدات خاصّة أخرى تستخدم لقياس الحجم، كاللتر والكوب والجالون ، ولكنها في الغالب مشتقة من وحدات الطول بشكل أو بآخر، فاللتر مثلا، هو عبارة عن حجم مكعب طول ضلعه ديسيمتر واحد، والديسيمتر هو عبارة عن 10 سم.
حجم المكعب يقاس بثلاثة أبعاد الطول والعرض والإرتفاع ،ويستخدم الحجم في التعبير عن أشياء حقيقية مثل الصناديق والأبنية والبحيرات مثلا، وكل هذه الأشياء لها طول وعرض وارتفاع.
حجم المكعب = الطول × العرض × الإرتفاع أو الطول^3
حجم متوازي المستطيلات = الطول × العرض × الإرتفاع
حجم الهرم = ( مساحة القاعدة ÷ 3 ) × الإرتفاع
الوحدات مصطلحات ذات علاقة معادلات الحجم
Shape
Volume formula
Variables
Any figurecalculus required)
V
=
∫
A
(
h
)
𝑑
h
𝑉
𝐴
ℎ
differential-d
ℎ
{\displaystyle{\displaystyle V=\int A(h)\,dh}}
h = any dimension of the figure,A (h ) = area of the cross-sections perpendicular to h described as a function of the position along h .
Cube
a
3
superscript
𝑎
3
{\displaystyle{\displaystyle a^{3}\;}}
a = length of any side (or edge)
Cylinder
π
r
2
h
𝜋
superscript
𝑟
2
ℎ
{\displaystyle{\displaystyle\pi r^{2}h\;}}
r = radius of circular face, h = height
Prism
B
⋅
h
⋅
𝐵
ℎ
{\displaystyle{\displaystyle B\cdot h}}
B = area of the base, h = height
Rectangular prism
l
⋅
w
⋅
h
⋅
𝑙
𝑤
ℎ
{\displaystyle{\displaystyle l\cdot w\cdot h}}
l = length, w = width, h = height
Sphere
4
3
π
r
3
4
3
𝜋
superscript
𝑟
3
{\displaystyle{\displaystyle{\frac{4}{3}}\pi r^{3}}}
r = radius of sphereintegral of the Surface Area of a sphere
Ellipsoid
4
3
π
a
b
c
4
3
𝜋
𝑎
𝑏
𝑐
{\displaystyle{\displaystyle{\frac{4}{3}}\pi abc}}
a , b , c = semi-axes of ellipsoid
Pyramid
1
3
B
h
1
3
𝐵
ℎ
{\displaystyle{\displaystyle{\frac{1}{3}}Bh}}
B = area of the base, h = height of pyramid
Cone
1
3
π
r
2
h
1
3
𝜋
superscript
𝑟
2
ℎ
{\displaystyle{\displaystyle{\frac{1}{3}}\pi r^{2}h}}
r = radius of circle at base, h = distance from base to tip
Tetrahedron [1]
2
12
a
3
2
12
superscript
𝑎
3
{\displaystyle{\displaystyle{{\sqrt{2}}\over 12}a^{3}\,}}
edge length
a
𝑎
{\displaystyle{\displaystyle a}}
Parallelpiped
V
=
a
b
c
K
𝑉
𝑎
𝑏
𝑐
𝐾
{\displaystyle{\displaystyle V=abc{\sqrt{K}}}}
K
=
1
+
2
cos
(
α
)
cos
(
β
)
cos
(
γ
)
-
cos
2
(
α
)
-
cos
2
(
β
)
-
cos
2
(
γ
)
𝐾
absent
1
2
𝛼
𝛽
𝛾
missing-subexpression
superscript
2
𝛼
superscript
2
𝛽
superscript
2
𝛾
{\displaystyle{\displaystyle{\begin{aligned} \displaystyle K=&\displaystyle 1+%
2\cos(\alpha)\cos(\beta)\cos(\gamma)\\
&\displaystyle-\cos^{2}(\alpha)-\cos^{2}(\beta)-\cos^{2}(\gamma)\end{aligned}}}}
a , b , and c are the parallelepiped edge lengths, and α, β, and γ are the internal angles between the edges
Volume formula derivations Sphere
y
=
r
2
-
x
2
𝑦
superscript
𝑟
2
superscript
𝑥
2
{\displaystyle{\displaystyle y={\sqrt{r^{2}-x^{2}}}}}
or
z
=
r
2
-
x
2
𝑧
superscript
𝑟
2
superscript
𝑥
2
{\displaystyle{\displaystyle z={\sqrt{r^{2}-x^{2}}}}}
where y or z can be taken to represent the radius of a slab at a particular x value.
Using y as the slab radius, the volume of the sphere can be calculated as
∫
-
r
r
π
y
2
𝑑
x
=
∫
-
r
r
π
(
r
2
-
x
2
)
𝑑
x
.
superscript
subscript
𝑟
𝑟
𝜋
superscript
𝑦
2
differential-d
𝑥
superscript
subscript
𝑟
𝑟
𝜋
superscript
𝑟
2
superscript
𝑥
2
differential-d
𝑥
{\displaystyle{\displaystyle\int_{-r}^{r}\pi y^{2}\,dx=\int_{-r}^{r}\pi(r^{2}-%
x^{2})\,dx.}}
Now
∫
-
r
r
π
r
2
𝑑
x
-
∫
-
r
r
π
x
2
𝑑
x
=
π
(
r
3
+
r
3
)
-
π
3
(
r
3
+
r
3
)
=
2
π
r
3
-
2
π
r
3
3
.
superscript
subscript
𝑟
𝑟
𝜋
superscript
𝑟
2
differential-d
𝑥
superscript
subscript
𝑟
𝑟
𝜋
superscript
𝑥
2
differential-d
𝑥
𝜋
superscript
𝑟
3
superscript
𝑟
3
𝜋
3
superscript
𝑟
3
superscript
𝑟
3
2
𝜋
superscript
𝑟
3
2
𝜋
superscript
𝑟
3
3
{\displaystyle{\displaystyle\int_{-r}^{r}\pi r^{2}\,dx-\int_{-r}^{r}\pi x^{2}%
\,dx=\pi(r^{3}+r^{3})-{\frac{\pi}{3}}(r^{3}+r^{3})=2\pi r^{3}-{\frac{2\pi r^{3%
}}{3}}.}}
Combining yields gives
V
=
4
3
π
r
3
.
𝑉
4
3
𝜋
superscript
𝑟
3
{\displaystyle{\displaystyle V={\frac{4}{3}}\pi r^{3}.}}
∫
0
r
4
π
u
2
𝑑
u
superscript
subscript
0
𝑟
4
𝜋
superscript
𝑢
2
differential-d
𝑢
{\displaystyle{\displaystyle\int_{0}^{r}4\pi u^{2}\,du}}
4
3
π
r
3
.
4
3
𝜋
superscript
𝑟
3
{\displaystyle{\displaystyle{\frac{4}{3}}\pi r^{3}.}}
مخروط
r
(
h
-
x
)
h
.
𝑟
ℎ
𝑥
ℎ
{\displaystyle{\displaystyle r{\frac{(h-x)}{h}}.}}
The surface area of the circular slab is then
π
(
r
(
h
-
x
)
h
)
2
=
π
r
2
(
h
-
x
)
2
h
2
.
𝜋
superscript
𝑟
ℎ
𝑥
ℎ
2
𝜋
superscript
𝑟
2
superscript
ℎ
𝑥
2
superscript
ℎ
2
{\displaystyle{\displaystyle\pi\left(r{\frac{(h-x)}{h}}\right)^{2}=\pi r^{2}{%
\frac{(h-x)^{2}}{h^{2}}}.}}
The volume of the cone can then be calculated as
∫
0
h
π
r
2
(
h
-
x
)
2
h
2
𝑑
x
,
superscript
subscript
0
ℎ
𝜋
superscript
𝑟
2
superscript
ℎ
𝑥
2
superscript
ℎ
2
differential-d
𝑥
{\displaystyle{\displaystyle\int_{0}^{h}\pi r^{2}{\frac{(h-x)^{2}}{h^{2}}}dx,}}
and after extraction of the constants:
π
r
2
h
2
∫
0
h
(
h
-
x
)
2
𝑑
x
𝜋
superscript
𝑟
2
superscript
ℎ
2
superscript
subscript
0
ℎ
superscript
ℎ
𝑥
2
differential-d
𝑥
{\displaystyle{\displaystyle{\frac{\pi r^{2}}{h^{2}}}\int_{0}^{h}(h-x)^{2}dx}}
Integrating gives us
π
r
2
h
2
(
h
3
3
)
=
1
3
π
r
2
h
.
𝜋
superscript
𝑟
2
superscript
ℎ
2
superscript
ℎ
3
3
1
3
𝜋
superscript
𝑟
2
ℎ
{\displaystyle{\displaystyle{\frac{\pi r^{2}}{h^{2}}}\left({\frac{h^{3}}{3}}%
\right)={\frac{1}{3}}\pi r^{2}h.}}
انظر أيضا
المصادر وصلات خارجية
