حلقة (رياضيات)

الحلقة (Ring) ${\displaystyle{\displaystyle R\!}}$ والتي يرمز لها أحيانا ${\displaystyle{\displaystyle\{R,+,\times\}}}$ هي مجموعة من العناصر مزودة بعمليتين ثنائيتين هما الجمع ${\displaystyle{\displaystyle+\!}}$ و الجداء ${\displaystyle{\displaystyle\times}}$¹ بحيث تحقق البديهيات التالية:

1. ${\displaystyle{\displaystyle\{R,+\}\!}}$ زمرة أبيلية حيث العنصر الحيادي ${\displaystyle{\displaystyle e=0\!}}$ و المتمم ${\displaystyle{\displaystyle{\acute{a}}=-a}}$
2. مغلقة بالنسبة للجداء: ${\displaystyle{\displaystyle\forall a,b\in R:ab\in R}}$
3. تجميعية بالنسبة للجداء: ${\displaystyle{\displaystyle a(bc)=(ab)c\ \forall a,b,c\in R}}$
4. قانونا التوزيع: ${\displaystyle{\displaystyle a(b+c)=ab+ac\ \forall a,b,c\in R}}$ و ${\displaystyle{\displaystyle(a+b)c=ac+bc\ \forall a,b,c\in R}}$

ندعو الحلقة بالتبديلية غن حققت الشرط الإضافي التالي:

5. تبديلية بالنسبة للجداء: ${\displaystyle{\displaystyle ab=ba\ \forall a,b\in R}}$

يجب أن ننتبه أن هاتين العمليتين رغم انهما تشابهان الجمع و الجداء المألوفين في مجموعات الأعداد إلا أنهما غير متماثلتين فهما جمع و جداء مجازي و ليس الجمع و الجداء المتعارف عليهما.

 هامش

1 لا يستعمل عادة رمز الجداء ${\displaystyle{\displaystyle\times}}$ و يستعاض عنه بالرمز ${\displaystyle{\displaystyle\cdot}}$ (مثلا ${\displaystyle{\displaystyle a\cdot b}}$) أو لا يستعمل أي رمز (مثلا ${\displaystyle{\displaystyle ab\!}}$)