نموذج رياضي

النموذج الرياضي هو نموذج مجرّد يستعمل اللغة الرياضية لوصف سلوك نظام ما، وهو عبارة عن العلاقات الرياضية التي تتضمن كل متغيرات المشكلة، ولبناء نموذج رياضي لمسألة ما يجب أولاً تحليل المشكلة إلى عدد من الدوال الأولية المعروفة بفعاليات المشكلة Activity، وهي متحولات القرار Dicision Variables.

وكل فعالية تشكل صندوق أسود، ما يحدث بداخله غير أساسي من وجهة نظر الباحثين بهذا الحقل، لكن ما يهم هو مفردات الدخل والخرج المقابلة لهذه الفعالية.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

 شروط النموذج الرياضي السليم

لكي يكون النموذج الرياضي -المبني لمشكلة ما- نموذج برمجة خطية، يحب أن يحقق الافتراضات التالية :

 اللاسلبية non negativity

معنى ذلك أن جميع الفعاليات $X_{j}$ يجب أن تأخذ قيم غير سالبة $X_{j}\leq 0$ من أجل جميع قيم $j$ من $\mathbb {R}$ ، و $X_{j}\in \mathbb {R}$

فإذا وجد متحول حقيقي حر Free Variable، أي مرة يأخذ قيمة موجبة مغايرة للصفر$X_{j}\!>0$،ومرة يأخذ قيمة سالبة مغايرة للصفر ايضاً $X_{j}\!<0$، يمكن استبدال هذا المتحول بالفرق: $X_{j}^{+}-X_{j}^{-}$

حيث $X_{j}^{+},X_{j}^{-}>0$

 التناسبية

العلاقات بين الفعاليات هي علاقات تناسبية، أي مستوى التناسبية يجب أن يكون متناسب مع قيمة الدخل والخرج المقابلة لهذه الفعالية. (أي أن مضاعفة قيمة الدخل يعني مضاعفة قيمة الخرج أيضاً).

فإذا كان إنتاج آلتين من نفس النوع يساوي ضعف إنتاج آلة من نفس النوع، فإن انتاج أربع آلات يساوي ضعف إنتاج الآلتين.

 الإضافة

بالنسبة لكل نظام فإن كمية الدخل الناتجة من جزيئة معينة مساو ٍ لكمية الخرج الإجمالية مضافاً لها الكمية المستهلكة من قبل النظام.

 خطيّة دوال الهدف Linearity of Objective Function

لكل مشكلة تتم معالجتها بواسطة بحوث العمليات تملك دالة مترافقة معها تعرف بدالة الهدف، وهي عبارة عن تركيب خطي لمتحولات المسألة، وهذه الدالة يجري لها عملية أمثلية تكون أعظمية أو تكون أصغرية بحسب المسألة.

 بعض أنواع النماذج

توجد عدة نماذج ومن أهم هذه النماذج :

 نماذج التحصيص Allocation models

وهذا النموذج خاص بتوزيع الموارد على أماكن الطلب بطريقة تعطي أفضل النتائج أي بطريقة تجعل المنفعة أكبر مايمكن والتكاليف أصغر مايمكن ويتم معالجة هذه المشكلة بالبرمجة الرياضية

 البرمجة الرياضية Mathematical Programming

•  مقالة مفصلة: برمجة رياضية

وأمثلة على ذلك:

• مثال (1)

اذا كان هناك مخزن للبضائع وله منافذ للتوزيع وكل منفذ له متطلبات تختلف عن الآخر فمن الواجب توزيع البضائع من المخزن بطريقة تحقق أكبر دخل وأقل تكاليف.

• مثال(2)

الموارد المتوفرة لأي شركة مثل المال والمواد الخام والأجهزة والأيدي العاملة .... الخ موارد محدودة فاذا كان على الشركة ان تقوم بانتاج أربع أنواع من المنتجات فأن عليها أن تقوم بتوزيع مواردها بين المنتجات الأربع بحيث تكون أرباح الشركة أكبر مايمكن.

 نماذج التخصيص Assignment Models

تبحث هذه النماذج في كيفية توزيع عدد معين من الموارد ( مدرسين، عمال، آلات ، ....) لعدد من الأنشطة (مدارس، أعمال، وظائف،....) كتوزيع عدد من الموظفين على عدد من الوظائف وكانجاز عدد معين من الشركات لعدد معين من الأعمال ويدخل في هذه النماذج أيضاً حالات يمكن فيها استخدام عدة موارد لعمل أو لعدة اعمال ومثال ذلك وسائل النقل التي تبحث في ايجاد طريقة الأقل تكلفة في نقل الموارد (كمنتجات المصانع) الى غايات معينة ( كالمخازن التي تقوم بدورها بتوزيعها على مراكز التسويق) ففي هذه الحالة يمكن أن تنقل المنتجات من أكثر من مصنع معين لعدة مخازن والسياسة المتبعة لذلك تعتمد بالدرجة الأولى على تكاليف نقل الوحدة من مصنع معين لكل مخزن من المخازن وعلى احتياجات هذا المخزن من المنتجات.

 نماذج التتابع Sequencing Models

نحتاج في حياتنا العملية لانجاز كثير من الأعمال في أقل وقت ممكن وبأقل تكلفة ممكنة أيضاً. ونماذج التتابع تحدد لنا التسلسل والأمثل للأعمال الفرعية لعمل معين أو التسلسل الأمثل للحوادث أو التسلسل الأمثل لخدمة الزبائن التي تجعل كل من الوقت الكلي والعائد الكلي للانجاز أفضل مايمكن فاذا اعتبرنا على سبيل المثال مصنعاً يقوم بصناعة عدد من المنتجات المختلفة واذا افترضنا أن زمن وتكلفة صناعة أي منتج تتوقفان على ما صنع قبله من منتجات عندئذ تكون المشكلة ايجاد التسلسل الأمثل الذي يكون من أجله كل من الوقت الكلي والتكلفة الكلية لصناعة هذه المنتجات أصغر مايمكن .

 نماذج الصفوف (الطوابير) Queuing Models

تسمى هذه النماذج أحيانا بنماذج خطوط الانتظار ومن أمثلة ذلك صفوف المرضى لدى غرفة الاسعاف في مستشفى لتلقي العلاج وصفوف الأجهزة المعطوبة بانتظار إصلاحها .... الخ . والفرضيات التي تقوم عليها نماذج الصفوف تتخلص في أن زمن وصول الزبائن (مرضى، أجهزة معطوبة ، ......) يكون عشوائياً ( أو منتظماً) وان الخدمة تقدم للزبائن وفقا لمقياس معين كترتيب وصولهم مثلا وتسمح هه النماذج بتحديد العدد الأمثل للزبائن الذين يمكن خدمتهم ضمن الطاقة المتوفرة ( عدد الذين يقدمون الخدمات والوقت الممكن لتقديمها والأجهزة التي تساعد في تقديم الخدمة وغيرها تكون محدودة في العادة) .

 أساليب المحاكاة Simulation Techniques

نواجه في كثير من الأحيان بعض الأنظمة ذات مشاكل معقدة يصعب ايجاد نموذج لحلها كما هي الحال في النماذج الأربعة المذكورة اعلاه واجراء التجارب على النظام نفسه يكون في معظم الأحيان صعبا وباهظ التكاليف ويحتوي على شيء من المخاطر في أحيان أخرى وتقوم في هذه الحالة بمحاكة النظام وتقوم بعدها باجراء التجارب والاقتراحات على هذا النموذج دون المساس بالنظام ثم تستفيد من النتائج التي نحصل عليها لتطبيقها على ذلك النظام.

فاذا افترضنا مثلا أن مصنعا ما يقوم بتصنيع عدد من المنتجات باستخدام مواد خام متنوعة وان الدراسات التقليدية قد أظهرت أن هناك زيادة في الطلب على السلعة وبالتالي فان التوسع في الانتاج سيعود على أصحاب المصنع بفوائد كبيرة. ولذلك فقد قررت ادارة المصنع زيادة عدد ساعات عمل كل من الأجهزة والعاملين في المصنع بالاضافة الى شراء مزيد من المواد الخام. ان القيام بتنفيذ هذا القرار قد ينطوي على كثير من المخاطر. فقد يكون سبب زيادة الطلب على السلعة قد تنتج عن خلل أو ظاهرة مؤقتة، مما قد ينتج عنه خسائر مادية عند زوالها. واذا سلمنا ان هذه الظاهرة ليست مؤقتة فقد تظهر مشاكل التخزين أو النقل ، أو التكاليف أو في توفير المواد الخام أو في استخدام أسلوب المحاكة في مثل هذه المشكلة يمكننا من دراستها واتخاذ قرار بصددها دون تعريض المصنع لأي خسارة أو ضرر.

 نماذج المنافسة: Competition Model

تقوم هذه النماذج بمعالجة مشاكل تتضمن التنافس بين نظامين أو أكثر ( شركات، أشخاص، .....) هدفه تكبير المنفعة لبعضها دون الأخرى ومن الواضح ترابط القرارات في مثل هذه الحالة بمعنى أن القرارات التي يتخذها طرف أو أكثر من المتنافسين تؤثر بطريقة مباشرة على القرارات التي تتخذها بقية الأطراف ومن أمثلة ذلك المنافسة بين لاعبي الشطرنج على الفوز في مباراة للشطرنج والتنافس بين الشركات ( صناعية ، بناء وتشييد،....) بغرض الاحتفاظ بنصيب أكبر في السوق المحلية أو العالمية وتستخدم عمليات ماركوف كأداة للتنبؤ بسلوك المستهلكين وفقاً للزمن الحاضر والمستقبل إذا ما عرف ولائهم في الوقت الحاضر بصنف معين من المنتجات وعرفت كذلك الأنصبة الحالية في السوق لمختلف المتنافسين.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

 النماذج الديناميكية Dynamic Models

تستخدم نماذج البرمجة الديناميكية لمعالجة مشاكل ذات طبيعة متغيرة مع الزمن وتعتمد نماذج البرمجة الديناميكية على مبدأ رسمي مبدأ الأمثلية والذي ينص على أن الحل الأمثل يتكوب من سلسلة من الحلول المثلى المتتابعة بمعنى أن أي حل يؤثر على الحلول التالية والطريقة المتبعة في لك هي تقسيم المشكلة قيد الدراسة الى مشاكل جزئية بسيطة ومتتابعة وايجاد حل أمثل لكل من هذه المشاكل الجزئية ثم ربط الحلول المثلى بعضها مع البعض الآخر بطريقة مناسبة تعطي حلاً أمثل للمشكلة ككل ولتوضيح ذلك لنعتبر أن المسألة هي ايجاد خطة الأقل تكلفة انتاج في منشأة (مصنع، مزرعة ،..... ) خلال عام عندئذ يكون مستوى المخزون الحالي هو أحد العوامل التي تؤثر على مايجب انتاجه في المستقبل ويمكن تبسيط هذه المسألة بتقسيمها الة مراحل بحسب أشهر السنة وايجاد أقل تكلفة انتاج لكل مرحلة ( شهر) ومن الواضح هنا أن مستوى المخزون في أحد الأشهر يؤثر على مايجب انتاجه في الشهر التالي وبالتالي على تكلفة الانتاج في ذلك الشهر.

 نماذج التعادل Breakeven Models

من الطبيعي جداً أن يتوقع أصحاب المنشآت بأن مجموع فوائد المنشأة سيتجاوز مجموع التكاليف بمرور الزمن. وتسمى المرحلة الزمنية من العمل التي يتساوى فيها مجموع العوائد ومجموع التكاليف بمرحلة أو نقطة التعادل فعندما يكون مستوى العمل في المنشأة أعلى منه عند نقطة التعادل فأن مكاسب المنشأة تكون في طور النمو وإلا فأنها في طور التراجع ونماذج التعادل تعتمد على أسلوب بسيط من أساليب التحليل الكمي التي تمكن القائمين على إدارة منشأة من إيجاد أو حساب نقطة التعادل وتستخدم هذه النماذج أيضاً في تخطيط الإنتاج وفي سياسات وقف الشراء .

 نماذج التخزين: Inventory Models

تعتبر مشكلة تحديد مستوى ملائم من المخزون من المشاكل الهامة للمنشآت بشكل عام، ذلك أن الزيادة أو النقص في مستوى مخزون منتجات منشأة يعرض هذه المنشأة لمصاعب كثيرة فمع أن زيادة الإنتاج تقلل من تكاليفه بشكل عام إلا أنها تكون بمثابة رأس مال عاطل إذا لم يتم استهلاكها.

 النماذج المسلكية Behavioral Models

وتهتم هذه النماذج بإجراء ثلاثة أنواع من التحليل الأول حول سلوك الفرد والثاني حول سلوك الجماعة ويتناول الثالث سلوك التنظيم ككل وقد ظهرت الحاجة لإدراج هذه النماذج في بحوث العمليات وذلك لأننا نجد مثلا أن هناك علاقة قوية بين قناعات ومشجعات العاملين في منشأة وبين مردود تلك المنشأة كما أنه لا يمكننا إهمال سلوك المستهلكين لسلعة ما عند التخطيط لإنتاج تلك السلعة.

 مجالات الاستخدام

النماذج الرياضية مستعملة بشكل خاص في علوم الطبيعة وهندسة المجالات (مثل الفيزياء، علم الأحياء، والهندسة الكهربائية) وأيضاً في العلوم الإجتماعية (مثل الإقتصاد و علم الإجتماع و علم السياسة)؛ الفيزيائيون، المهندسون، علماء الحاسوب، و الإقتصاديون يستعملون النماذج الرياضية على نطاق واسع جدا.