نظام عد ستة عشري

أنظمة الأرقام حسب الثقافة
الأرقام الهندية العربية
العربية المغربية; العربية المشرقية; الخمير	العائلة الهندية; البراهمية; التايلندية
أرقام شرق آسيا
الصينية; سوژو; عصي العد	اليابانية; الكورية
الأرقام الأبجدية
أبجد; الأرمنية; السيريلية; جعيز	العبرية; اليونانية (Ionian); أريابهاتا;
أنظمة أخرى
Attic; البابلية; المصرية; الإتروسكية	المايا; الرومانية; Urnfield
	قائمة مواضيع نظم الأرقام
Positional systems by base
	عشري (10)
	2, 4, 8, 16, 32, 64
	1, 3, 9, 12, 20, 24, 30, 36, 60, more…
	عرض • نقاش • تعديل

نظام العد السداسي عشر (Hexadecimal) هو نظام عد حيث يمكن أن تأخذ الخانة الواحدة 16 قيمة مختلفة, و ذلك يعني بأن الخانة الموالية تتغير بعد 16 رقم, مقابل 10 بالنسبة للنظام العشري (Decimal), و 2 بالنسبة للنظام الثنائي (Binary), و 8 للنظام الثماني (Octal).

و ال16 قيمة مختلفة التي يمكن أن تتخذها كل خانة تتمثل من 0 إلى 9 و من A إلى B, حيث الحروف اللتينية A..B, هي بالتناسب من 10 إلى 15 عدد الاحتمالات بالنسبة للنظام السداسي عشر يساوي 16 قوة عدد الخانات

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

تمثيله و تحويله

للتفرقة بين نظام العد السداسي عشر و الأنظمة الأخرى يقع استعمال كتابة فاذا اعتبرنا العدد 4B5, فيجب كتابته كما يلي : 4B5₁₆

بعض لغات البرمجة مثل السي لها طرقها الخاصة, فمثلا 4B5 يمكن ان يكتب في شكل 0x4B5

للمساعدة في التحويل بين أنظمة العد الثنائية, العشرية و السداسي عشرية : يقع الاستعانة بالجدول التالي :

ن2     ن10     ن16

0000    00       0

0001    01       1

0010    02       2

0011    03       3

0100    04       4

0101    05       5

0110    06       6

0111    07       7

1000    08       8

1001    09       9

1010    10       A

1011    11       B

1100    12       C

1101    13       D

1110    14       E

1111    15       F

و لتحويل رقم يحتوي أكثر من خانة, يقع العمل بالمثال التالي : 4B5A₁₆ = 0100 1011 0101 1010₂ = (4*16^4)+(11*16^3)+(5*16^3)+(10*16^1)₁₀

Real numbers

Rational numbers

As with other numeral systems, the hexadecimal system can be used to represent rational numbers, although repeating expansions are common since sixteen (10_hex) has only a single prime factor (two):

1/2	=	0.8
1/3	=	0.5
1/4	=	0.4
1/5	=	0.3
1/6	=	0.2A
1/7	=	0.249
1/8	=	0.2
1/9	=	0.1C7
1/A	=	0.19
1/B	=	0.1745D
1/C	=	0.15
1/D	=	0.13B
1/E	=	0.1249
1/F	=	0.1
1/10	=	0.1
1/11	=	0.0F

where an overline denotes a recurring pattern.

For any base, 0.1 (or "1/10") is always equivalent to one divided by the representation of that base value in its own number system. Thus, whether dividing one by two for binary or dividing one by sixteen for hexadecimal, both of these fractions are written as 0.1. Because the radix 16 is a perfect square (4²), fractions expressed in hexadecimal have an odd period much more often than decimal ones, and there are no cyclic numbers (other than trivial single digits). Recurring digits are exhibited when the denominator in lowest terms has a prime factor not found in the radix; thus, when using hexadecimal notation, all fractions with denominators that are not a power of two result in an infinite string of recurring digits (such as thirds and fifths). This makes hexadecimal (and binary) less convenient than decimal for representing rational numbers since a larger proportion lie outside its range of finite representation.

All rational numbers finitely representable in hexadecimal are also finitely representable in decimal, duodecimal and sexagesimal: that is, any hexadecimal number with a finite number of digits has a finite number of digits when expressed in those other bases. Conversely, only a fraction of those finitely representable in the latter bases are finitely representable in hexadecimal. For example, decimal 0.1 corresponds to the infinite recurring representation 0.199999999999... in hexadecimal. However, hexadecimal is more efficient than bases 12 and 60 for representing fractions with powers of two in the denominator (e.g., decimal one sixteenth is 0.1 in hexadecimal, 0.09 in duodecimal, 0;3,45 in sexagesimal and 0.0625 in decimal).

n	Decimal Prime factors of base, b = 10: 2, 5; b − 1 = 9: 3; b + 1 = 11: 11			Hexadecimal Prime factors of base, b = 16₁₀ = 10: 2; b − 1 = 15₁₀ = F: 3, 5; b + 1 = 17₁₀ = 11: 11
n	Fraction	Prime factors	Positional representation	Positional representation	Prime factors	Fraction(1/n)
2	1/2	2	0.5	0.8	2	1/2
3	1/3	3	0.3333... = 0.3	0.5555... = 0.5	3	1/3
4	1/4	2	0.25	0.4	2	1/4
5	1/5	5	0.2	0.3	5	1/5
6	1/6	2, 3	0.16	0.2A	2, 3	1/6
7	1/7	7	0.142857	0.249	7	1/7
8	1/8	2	0.125	0.2	2	1/8
9	1/9	3	0.1	0.1C7	3	1/9
10	1/10	2, 5	0.1	0.19	2, 5	1/A
11	1/11	11	0.09	0.1745D	B	1/B
12	1/12	2, 3	0.083	0.15	2, 3	1/C
13	1/13	13	0.076923	0.13B	D	1/D
14	1/14	2, 7	0.0714285	0.1249	2, 7	1/E
15	1/15	3, 5	0.06	0.1	3, 5	1/F
16	1/16	2	0.0625	0.1	2	1/10
17	1/17	17	0.0588235294117647	0.0F	11	1/11
18	1/18	2, 3	0.05	0.0E38	2, 3	1/12
19	1/19	19	0.052631578947368421	0.0D79435E5	13	1/13
20	1/20	2, 5	0.05	0.0C	2, 5	1/14
21	1/21	3, 7	0.047619	0.0C3	3, 7	1/15
22	1/22	2, 11	0.045	0.0BA2E8	2, B	1/16
23	1/23	23	0.0434782608695652173913	0.0B21642C859	17	1/17
24	1/24	2, 3	0.0416	0.0A	2, 3	1/18
25	1/25	5	0.04	0.0A3D7	5	1/19
26	1/26	2, 13	0.0384615	0.09D8	2, D	1/1A
27	1/27	3	0.037	0.097B425ED	3	1/1B
28	1/28	2, 7	0.03571428	0.0924	2, 7	1/1C
29	1/29	29	0.0344827586206896551724137931	0.08D3DCB	1D	1/1D
30	1/30	2, 3, 5	0.03	0.08	2, 3, 5	1/1E
31	1/31	31	0.032258064516129	0.08421	1F	1/1F
32	1/32	2	0.03125	0.08	2	1/20
33	1/33	3, 11	0.03	0.07C1F	3, B	1/21
34	1/34	2, 17	0.02941176470588235	0.078	2, 11	1/22
35	1/35	5, 7	0.0285714	0.075	5, 7	1/23
36	1/36	2, 3	0.027	0.071C	2, 3	1/24

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Irrational numbers

The table below gives the expansions of some common irrational numbers in decimal and hexadecimal.

Number	Positional representation
Number	Decimal	Hexadecimal
√2 (the length of the diagonal of a unit square)	1.414213562373095048...	1.6A09E667F3BCD...
√3 (the length of the diagonal of a unit cube)	1.732050807568877293...	1.BB67AE8584CAA...
√5 (the length of the diagonal of a 1×2 rectangle)	2.236067977499789696...	2.3C6EF372FE95...
$φ$ (phi, the golden ratio = $(1+ قالب:Radical)/2$ )	1.618033988749894848...	1.9E3779B97F4A...
$π$ (pi, the ratio of circumference to diameter of a circle)	3.141592653589793238462643 383279502884197169399375105...	3.243F6A8885A308D313198A2E0 3707344A4093822299F31D008...
$e$ (the base of the natural logarithm)	2.718281828459045235...	2.B7E151628AED2A6B...
$τ$ (the Thue–Morse constant)	0.412454033640107597...	0.6996 9669 9669 6996...
$γ$ (the limiting difference between the harmonic series and the natural logarithm)	0.577215664901532860...	0.93C467E37DB0C7A4D1B...

Powers

Powers of two have very simple expansions in hexadecimal. The first sixteen powers of two are shown below.

2^x	Value	Value (Decimal)
2⁰	1	1
2¹	2	2
2²	4	4
2³	8	8
2⁴	10_hex	16_dec
2⁵	20_hex	32_dec
2⁶	40_hex	64_dec
2⁷	80_hex	128_dec
2⁸	100_hex	256_dec
2⁹	200_hex	512_dec
2^A (2^10_dec)	400_hex	1024_dec
2^B (2^11_dec)	800_hex	2048_dec
2^C (2^12_dec)	1000_hex	4096_dec
2^D (2^13_dec)	2000_hex	8192_dec
2^E (2^14_dec)	4000_hex	16,384_dec
2^F (2^15_dec)	8000_hex	32,768_dec
2¹⁰ (2^16_dec)	10000_hex	65,536_dec

استعمالاته

References

خطأ استشهاد: علامة <ref> بالاسم " Savard_2018_CA " المحددة في <references> لها سمة المجموعة " " والتي لا تظهر في النص السابق.
خطأ استشهاد: علامة <ref> بالاسم " Bendix " المحددة في <references> لها سمة المجموعة " " والتي لا تظهر في النص السابق.
خطأ استشهاد: علامة <ref> بالاسم " Illiac-I " المحددة في <references> لها سمة المجموعة " " والتي لا تظهر في النص السابق.

خطأ استشهاد: علامة <ref> بالاسم " RP_1957_LGP-30 " المحددة في <references> لها سمة المجموعة " " والتي لا تظهر في النص السابق.